第11讲直线与圆

第十一讲直线与圆真题试做►———————————————————1．(2013·高考安徽卷)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．462．(2013·高考天津卷)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－12B．1C．2D.123．(2013·高考江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．考情分析►———————————————————该部分常考内容有直线的倾斜角、斜率、方程、两直线的位置关系及交点坐标的求解，圆的方程的求解以及圆的性质的应用，直线与圆的位置关系的判断和应用，弦长与面积的求法等；大部分为选择题、填空题，突出考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，属于中、低档题．考点一直线的方程直线与直线的方程是高中数学最基础、最重要的知识点之一．重点考查直线的倾斜角与斜率，且往往与导数、直线与曲线的位置关系结合考查．(1)(2013·郑州调研)直线x＋2ay－5＝0与直线ax＋4y＋2＝0平行，则a的值为()A．2B．±2C.2D．±2(2)过点(1，0)且倾斜角是直线x－2y－1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是______________．(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可．对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线．强化训练1(1)m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．考点二圆的方程求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是近年来高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出了“小而巧”，主要考查圆的标准方程、一般方程；主观题往往在知识交汇处命题．(1)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－73)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－32)2＋(y－1)2＝1(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________．【思路点拨】(1)设圆心坐标为(a，b)，利用已知条件求出(a，b)．(2)首先求圆心到直线4x－3y－2＝0的距离，再利用圆的几何性质求得半径．求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量．强化训练2(1)圆心在抛物线x2＝2y(x0)上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是()A．x2＋y2－x－2y＋1＝0B．x2＋y2－2x－y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋14＝0D．x2＋y2－2x－y＋14＝0(2)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1，0)，且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为__________．考点三直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是高考解析几何试题中的必考点，重点考查直线与圆的位置关系的判断、圆的切线与弦长问题，题型多以选择题与填空题形式出现，与圆有关的最值问题、圆与圆的位置关系问题相对较少出现．如图所示，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程；(3)BQ→·BP→是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【思路点拨】第(1)问由圆A与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程；第(2)问注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．(1)在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ0，Δ＝0，Δ0，而用圆心到直线的距离dr、d＝r、dr，分别确定相交、相切、相离的位置关系．(2)弦长L＝2R2－d2，其中R为圆的半径，d为圆心到弦所在直线的距离．强化训练3(2013·长春市调研)已知直线x＋y－k＝0(k0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA→＋OB→|≥33|AB→|，那么k的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[2，＋∞)C．[2，22)D．[3，22)思维方法创新型试题的解题技巧——距离和最值的创新解决此类问题的关键是要认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，运用相应的数学思想和方法求解．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．(1)求一点M使|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|最小．(2)若M为平面内任一点，则|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号；|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号．(3)若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为AC、BD的交点．(4)由AC和BD的直线方程求M的坐标．抓信息寻思路【解析】∵kAC＝6－23－1＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①又kBD＝5－（－1）1－7＝－1，∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②由①②得2x－y＝0，x＋y－6＝0，∴x＝2，y＝4，∴要求的点的坐标为(2，4)．【答案】(2，4)本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想在解题中的应用，即通过数形结合将问题转化为求直线AC和BD交点的坐标，这种以“以形助解”探究解题思路的思想方法在今后学习中应引起重视．跟踪训练1(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－3跟踪训练2(2013·浙江省名校联考)设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A、B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________．_体验真题·把脉考向_1．【解析】选C.圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1，2)，半径R＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝R2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.2．【解析】选C.由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2，2)，∴c＝－2－2a，∴|1－2－2a|1＋a2＝5，解得a＝2.3．【解析】因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以（4－2）2＋（0－m）2＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－32，所以圆的方程为(x－2)2＋y＋322＝254.【答案】(x－2)2＋y＋322＝254_典例展示·解密高考_【例1】【解析】(1)依题意得－a4＝－12a且52a≠－12，由此得a＝±2，故选D.(2)设直线x－2y－1＝0的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.又由已知得tanα＝12，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－（12）2＝43，∴所求直线方程为y－0＝43(x－1)，即4x－3y－4＝0.【答案】(1)D(2)4x－3y－4＝0[强化训练1]【解析】(1)由两直线垂直得3m＋(2m－1)m＝0，解得m＝0或m＝－1.而当m＝－1时可得两直线垂直．所以m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直的充分不必要条件．(2)因为kPA＝1，则kPB＝－1.又A点坐标为(－1，0)，点P的横坐标为2，则B点坐标为(5，0)，直线PB的方程为x＋y－5＝0.【答案】(1)A(2)x＋y－5＝0【例2】【解析】(1)设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意可得b＝1.又圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍)．所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.(2)设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0)，则圆C的圆心坐标是(0，1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝|4×0－3×1－2|42＋（－3）2＝1，则r2＝d2＋(|AB|2)2＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.【答案】(1)B(2)x2＋(y－1)2＝10[强化训练2]【解析】(1)设圆心坐标为x0，x202(x00)．∵抛物线x2＝2y的准线方程为y＝－12，由题意知，x0＝x202＋12⇒x0＝1，∴所求圆的圆心坐标为1，12，半径为1.∴所求圆的方程为(x－1)2＋y－122＝1，化为一般式为x2＋y2－2x－y＋14＝0.(2)∵圆C关于y轴对称，∴圆C的圆心C在y轴上，可设C(0，b)．设圆C的半径为r.则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.依题意，得12＋（－b）2＝r2|b|＝12r，解之得r2＝43b＝±33.∴圆C的方程为x2＋(y±33)2＝43.【答案】(1)D(2)x2＋(y±33)2＝43【例3】【解】(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ(图略)，则AQ⊥MN.∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1，由|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0，∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴AQ→·BP→＝0，∴BQ→·BP→＝(BA→＋AQ→)·BP→＝BA→·BP→＋AQ→·BP→＝BA→·BP→.当直线l与x轴垂直时，得P－2，－52，则BP→＝0，－52，又BA→＝(1，2)．∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由y＝k（x＋2），x＋2y＋7＝0，解得P－4k－71＋2k，－5k1＋2k.∴BP→＝－51＋2k，－5k1＋2k.∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－51＋2k－10k1＋2k＝－5，综上所述，BQ→·BP→是定值，且BQ→·BP→＝－5.[强化训练3]【解析】选C.当