第12知识块第1讲

第十二知识块推理与证明第1讲合情推理与演绎推理一、选择题1．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：由类比推理的特点，知C正确．答案：C2．(2010·模拟精选)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝n(n＋1)2，第n个正方形数为bn＝n2，由此可排除D(1378不是平方数)．将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项．答案：C3．观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题不正确的是()A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝34B．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝34C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34解析：观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，从而推断错误的命题为A.答案：A4．(2009·南京第一次调研)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为()A．105B．106C．107D．108解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923，2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C二、填空题5．(2009·青岛二检)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖的块数是________．解析：白色地面砖的块数构成以6为首项，以4为公差的等差数列，故第n个图案中有白色地面砖6＋4(n－1)＝4n＋2(块)．答案：4n＋26．(2010·广东深圳调研)给出下列不等式：….请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________．解析：由“23＋53＞22·5＋2·52”，“24＋54＞23·5＋2·53”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“□□＋□□＞□□·□□＋□□·□□”的形式．再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a□＋b□＞a□·b□＋a□·b□”的形式．再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a，b＞0，a≠b，m，n＞0)．答案：am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a，b＞0，a≠b，m，n＞0)7．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“______________________________________________”．答案：若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有bs－1t＝bt－1s8．(2010·山东聊城调研)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－b2a2.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则有x0＝x1＋x22y0＝y1＋y22.∵x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1.两式相减得x21－x22a2＝y21－y22b2，即(x1－x2)(x1＋x2)a2＝(y1－y2)(y1＋y2)b2，即(y1－y2)(y1＋y2)(x1－x2)(x1＋x2)＝b2a2，即kOM·kAB＝b2a2.答案：b2a2三、解答题9．已知函数f(x)＝aa2－1(ax－a－x)，a＞1.(1)用a表示f(2)，f(3)，并化简；(2)比较f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小，并由此归纳出一个更一般的结论(不要求写出证明过程)．解：(1)f(2)＝a＋1a，f(3)＝a2＋1a2＋1.(2)因为f(1)－1＝0，f(2)－2＝a＋1a－2＞0，所以f(2)－2＞f(1)－1.因为f(3)－3－[f(2)－2]＝(a－1)(a3－1)a2＞0，所以f(3)－3＞f(2)－2.一般地，f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)．10．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．解：一般性的命题为sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)]＝32＝右边．∴结论正确．1．(★★★★)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝2Sa＋b＋c，将此结论类比到空间四面体：设四面体S—ABCD的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，体积为V，则四面体的内切球半径r＝________.答案：3VS1＋S2＋S3＋S42．(2010·创新题)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)．…n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为________．解析：∵k(k＋2)＝16[k(k＋2)(k＋4)－(k－2)k(k＋2)]，∴1×3＋2×4＋3×5＋4×6＋5×7＋6×8＋…＋n(n＋2)＝16[1×3×5－(－1)×1×3＋2×4×6－0×2×4＋3×5×7－1×3×5＋4×6×8－2×4×6＋5×7×9－3×5×7＋6×8×10－4×6×8＋…＋n(n＋2)(n＋4)－(n－2)n·(n＋2)]＝16[－(－1)×1×3－0×2×4＋(n－1)(n＋1)·(n＋3)＋n(n＋2)(n＋4)]＝16(2n3＋9n2＋7n)＝16n(n＋1)(2n＋7)．答案：16n(n＋1)(2n＋7)