第12章静电场

第12章静电场12.1如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1=1.8×10-9C，B点处有点电荷q2=-4.8×10-9C，AC=3cm，BC=4cm，试求C点的场强．[解答]根据点电荷的场强大小的公式22014qqEkrr，其中1/(4πε0)=k=9.0×109N·m2·C-2．点电荷q1在C点产生的场强大小为112014qEAC994-1221.8109101.810(NC)(310)，方向向下．点电荷q2在C点产生的场强大小为2220||14qEBC994-1224.8109102.710(NC)(410)，方向向右．C处的总场强大小为2212EEE44-10.913103.24510(NC)，总场强与分场强E2的夹角为12arctan33.69EE．12.2半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．[解答]在带正电的圆弧上取一弧元ds=Rdθ，电荷元为dq=λds，在O点产生的场强大小为220001d1ddd444qsERRR，场强的分量为dEx=dEcosθ，dEy=dEsinθ．对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为2dsinyLEEE/6/60000sind(cos)22RR03(1)22R．12.3均匀带电细棒，棒长a=20cm，电荷线密度为λ=3×10-8C·m-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端d1=8cm处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2=8cm处的场强．[解答]（1）建立坐标系，其中L=a/2=0.1(m)，x=L+d1=0.18(m)．在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为1220ddd4()qlEkrxl场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场E2EE1q2ACq1Bθ图12.1ExxEθRdsEyOydsExxEθREyOyolxxdlyP1r-LLd1强大小通过积分得120d4()LLlExl014LLxl011()4xLxL220124LxL．①将数值代入公式得P1点的场强为8912220.13109100.180.1E=2.41×103(N·C-1)，方向沿着x轴正向．（2）建立坐标系，y=d2．在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为2220ddd4qlEkrr，由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为dEy=dE2sinθ．由图可知：r=d2/sinθ，l=d2cotθ，所以dl=-d2dθ/sin2θ，因此02dsind4yEd，总场强大小为02sind4LylLEd02cos4LlLd220224LlLlddl22022124LddL．②将数值代入公式得P2点的场强为89221/220.13109100.08(0.080.1)yE=5.27×103(N·C-1)．方向沿着y轴正向．[讨论]（1）由于L=a/2，x=L+d1，代入①式，化简得1011011144/1aEddadda，保持d1不变，当a→∞时，可得1014Ed，③这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小．（2）由②式得220224(/2)yaEdda2202214(/)(1/2)dda，当a→∞时，得022yEd，④这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．如果d1=d2，则有大小关系Ey=2E1．12.4一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零．[解答]设电荷线θRO图12.4密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．在圆弧上取一弧元ds=Rdφ，所带的电量为dq=λds，在圆心处产生的场强的大小为2200dddd44qsEkrRR，由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为dEx=-dEcosφ．总场强为2/20/2cosd4xER2/20/2sin4R0sin22R，方向沿着x轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为`04ER，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为``02coscos222xEER，方向沿着x轴负向．当O点合场强为零时，必有`xxEE，可得tanθ/2=1，因此θ/2=π/4，所以θ=π/2．12.5一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强．[解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为dλ=σdx，根据直线带电线的场强公式02Er，得带电直线在P点产生的场强为00ddd22(/2)xErbax，其方向沿x轴正向．由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为/20/21d2/2bbExbax/20/2ln(/2)2bbbax0ln(1)2ba．①场强方向沿x轴正向．（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍θROxdφdEφθOE`E``xRPbaQd图12.5PbaOxdxy然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为dλ=σdx，带电直线在Q点产生的场强为221/200ddd22()xErbx，沿z轴方向的分量为221/20cosdddcos2()zxEEbx，设x=dtanθ，则dx=ddθ/cos2θ，因此0ddcosd2zEE积分得arctan(/2)0arctan(/2)d2bdzbdE0arctan()2bd．②场强方向沿z轴正向．[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为λ=σb，①式的场强可化为0ln(1/)2/baEaba，当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为02Ea，③这正是带电直线的场强公式．（2）②也可以化为0arctan(/2)2/2zbdEdbd，当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为02zEd，这也是带电直线的场强公式．当b→∞时，可得02zE，④这是无限大带电平面所产生的场强公式．12.6（1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？[解答]点电荷产生的电通量为Φe=q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1=Φe/6=q/6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1=Φe/24=q/24ε0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．12.7面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．[解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为q=πR2σ，通过球面的电通量为Φe=q/ε0，通过半球面的电通量为Φ`e=Φe/2=πR2σ/2ε0．12.8两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）rR1；（2）R1rR2；（3）rR2处各点的场强．RO图12.7[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E=0，（rR1）．（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q=λl，穿过高斯面的电通量为dd2eSSESErlESÑ，根据高斯定理Φe=q/ε0，所以02Er，(R1rR2)．（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E=0，（rR2）．12.9一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．[解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=E`．在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为deSES20dddSSSESESES1`02ESESES，高斯面内的体积为V=2rS，包含的电量为q=ρV=2ρrS，根据高斯定理Φe=q/ε0，可得场强为E=ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为Φe=2ES，高斯面在板内的体积为V=Sd，包含的电量为q=ρV=ρSd，根据高斯定理Φe=q/ε0，可得场强为E=ρd/2ε0，(r≧d/2)．②方法二：场强叠加法．（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为dσ=ρdy，产生的场强为dE1=dσ/2ε0，积分得100/2d()222rdydEr，③同理，上面板产生的场强为/2200d()222drydEr，④r处的总场强为E=E1-E2=ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令r=d/2，得E2=0、E=E1=ρd/2ε0，E就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．12.10一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R`R的小球体，如图所示，S2S1E`S1S2EEd2rS0E`S0ORaR`O`图12.10E2dyryoE1d试求两球心O与O`处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场．[解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加．对于一个半径为R，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程2301443ErrP点场强大小为03Er．当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程2301443ErRP点场强大小为3203REr．O点在大球体中心、小球体之外．大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为320`3OREa，方向由O指向O`．O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在O`点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为`03OEa，方向也由O指向O`．[证明]在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为03rEr，`0`3rEr，方向如图所示．设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为222``2cosrrrrEEEEE2220()(`2`cos)3rrrr，根据余弦定理得222`2`cos()ar