混沌理论综述

1混沌理论综述摘要：混沌运动是非线性动力学系统所产生的复杂的不规则行为，它普遍存在于自然界的各个领域中。该文介绍了混沌的产生、特点及混沌控制的发展以及研究思想，给出了混沌的定义及其相关概念，深入浅出地阐明了混沌运动的基本性质和基本规律，概括介绍了混沌学及混沌控制，最后论述了混沌应用的巨大潜力。关键词：混沌混沌运动混沌控制引言混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式,其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。混沌运动的早期研究可以追溯到1963年美国气象学家Lorenz对两无限平面间的大气湍流的模拟。在用计算机求解的过程中,Lorenz发现当方程中的参数取适当值时,解是非周期的且具有随机性,即由确定性方程可得出随机性的结果,这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背(确定性方程得出确定性结果)。随后,Henon和Rossler等也得到类似结论。Ruelle,May,Feigenbaum等对这类随机运动的特性进行了进一步研究,从而开创了混沌这一新的研究方向。近二三十年来,近似方法、非线性微分方程的数值积分法,特别是计算机技术的飞速发展,为人们对混沌的深入研究提供了可能,混沌理论研究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认识、理解和应用混沌。本文将介绍与混沌有关的基本概念和基本理论以及混沌应用研究的最新进展,希望能起到抛砖引玉的作用[2]。1背景我国著名的混沌学家、中国科学院院士郝柏林指出:“混沌,这个在中外文化渊源悠久的词儿,正在成为具有严格定义的科学概念,成为一门新科学的名字,它正在促使整个现代知识体系成为新科学。”他还指出:“越来越多的人认识到,这是相对论和量子力学问世以来,对人类整个知识体系的又一次巨大冲击。这也许是20世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡献。”作为一门新科学的混沌学(Chaology),一般认为始于李天岩和约克(Yorke)的著名论文“周期3蕴含混沌”,因为正是在该文中“混沌”(Chaos)首次被作为科学词儿使用。该文在《美国数学月刊》上正式发表是1975年12月.20年来,混沌学作为一门新科学传播速度之快,波及空间之广,恐怕是前所未有的。李天岩和约克的论文发表后大约过了10年,国际上便形成了一支可观的混沌学专家队伍。与此同时,许多研究中心与研究所则专门冠之以“非线性动力学”、“非线性科学”、“非线性数学”等名称[4]。1目录1混沌的基本概念.........................................................................................................................12混沌运动的基本性质.................................................................................................................23关于混沌系统的控制....................................................................................................................63.1混沌控制的目标和方法....................................................................................................73.1.1OGY方法................................................................................................................73.1.2连续反馈控制法.....................................................................................................83.1.3自适应控制法.........................................................................................................83.1.4智能控制法.............................................................................................................83.2混沌控制理论的应用........................................................................................................93.2.1非线性时间序列预测.............................................................................................93.2.2信息存储,语音、图像压缩....................................................................................93.2.3信号检测、估值.....................................................................................................93.2.4优化.........................................................................................................................94混沌的发展与前景展望.............................................................................................................11参考文献.........................................................................................................................................1211混沌的基本概念混沌：目前尚无通用的严格的定义,一般认为,将不是由随机性外因引起的,而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。相空间：在连续动力系统中,用一组一阶微分方程描述运动,以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示,通过该点有唯一的一条积分曲线。混沌运动：是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定,是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性,系统的长时间行为会显示出某种混乱性。分形和分维：分形是n维空间一个点集的一种几何性质,该点集具有无限精细的结构,在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质,具有小于所在空间维数n的非整数维数。分维就是用非整数维——分数维来定量地描述分形的基本性质。不动点：又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值,对于这些值系统不随时间变化。在连续动力学系统中,相空间中有一个点x0,若满足当t→∞时,轨迹x(t)→x0,则称x0为不动点。吸引子：指相空间的这样的一个点集s(或一个子空间),对s邻域的几乎任意一点,当t→∞时所有轨迹线均趋于s,吸引子是稳定的不动点。奇异吸引子：又称混沌吸引子,指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成,并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在该吸引集中。分叉和分叉点：又称分岔或分支。指在某个参数或某组参数发生变化时,长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点,在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性,故系统在分叉点处是结构不稳定的。周期解：对于系统xn+1=f(xn),当n→∞时,若存在N=xn+i=xn,则称该系统有周期i解N。不动点可以看做是周期1解,因为它满足xn+1=xn[5]。22混沌运动的基本性质Logistic映射[9]是非线性方程中出现的一个能成功地进行实验数学研究的不寻常的实例,它虽然简单却能体现出所有非线性现象的本质。以Logistic映射这只“小麻雀”为例来说明混沌运动的基本性质。Logistic映射如式(1),最初用来描述昆虫数目的世代变化规律:xn+1=f(L,xn)=Lxn(1-xn)n=0,1,2,…(1)其中L为控制参量;有限差分方程(1)可以看做是一个动力学系统。L值确定后,由任意初值x0∈[0,1],可迭代出一个确定的时间序列x1,x2,x3,…。对于不同的L值,系统(1)将呈现不同的特性,如图1所示。图1(a)如下绘制:纵坐标为变量x,所属区间为[0,1],横坐标为控制参量L,所属区间为[1,4]。把参量空间分成500步,对每个固定的参量值L,变量x从某一个初值(统一用x0=0.123)开始迭代,舍去最初暂态过程的300个迭代值,再把后继400个轨道点都画到所选参量的纵方向上,这样扫过全部的参量范围。图1(b)为图1(a)中小矩形区域的放大图。3由图1(a),当1≤LL1=3.0时,系统(1)的稳态解为不动点,即周期1解;当L=L1=3.0时,系统(1)的稳态解由周期1变为周期2,这是一个一分为二的分叉过程;当L=L2=3.449489时,系统(1)的稳态解由周期2分叉为周期4;当L=L3=3.544090时,系统(1)的稳态解由周期4分叉为周期8;……;当L达到极限值L∞=3.569945时,系统(1)的稳态解是周期2∞解,即系统(1)进入混沌状态。从以上分析可知,随着参数L的增加,系统(1)不断地经历倍周期分叉,最终达到混沌。称当L=4时由系统(1)产生的序列{xn}为混沌变量,混沌变量{xn}的运动形式有如下特征:a.随机性。当L=4时,Logistic映射在有限区间[0,1]内不稳定运动,其长时间的动态行为将显示随机性质,图2为当x0=0.1时的运动轨迹,迭代次数为100。从图2可以明显地观察到其随机性,事实上当x0取其他初值时,系统(1)一般都能体现这样的随机性。4图2随机性Fig.2Thestochasticpropertyb.规律性。尽管{xn}体现出随机性质,但它是由确定方程(1)导出的,初值确定后{xn}便已确定,即其随机性是内在的,这就是混沌运动的规律性。c.遍历性。混沌运动的遍历性是指混沌变量能在一定范围内按其自身规律不重复地遍历所有状态,如图3所示。该图分别以x10=0.165432和x20=0.234561为初值迭代1000次,得到2个混沌序列{x1n}和{x2n},图中小圆圈表示空间中的一点,其坐标为(x1j,x2j)。图3遍历性Fig.3Theergodicityd.对初值的敏感性。初值x0的微小变化将导致序列{xn}远期行为的巨大差异,如5图4所示。图4是令x10=0.123456,x20=0.123457,以x10和x20为初值迭代100次得到序列{x1n}和{x2n}。可以看出,虽然初值相差1.0e-6,但迭代10多次后两个序列便完全不一样了。对初值的敏感性是混沌的一个十分鲜明的特征,Lorenz曾十分形象地称其为蝴蝶效应:“仅仅是蝴蝶翅膀的一次小小扇动,就有可能改变一个月以后的天气情况”。图4对初值的敏感性Fig.4Thepropertyofsensitivetoinit