第13章全等三角形3

1第13章全等三角形13.3角的平分线的性质基础巩固一、填空题1．如图1，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。第3题图DCBA图1图22．如图2所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，则点D到BC的距离为________cm．3．如图3，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。图3图44．如图4，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于。5．已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC=。二、选择题6．如图5，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则)(nm与)(cb的大小关系是（）A、nm＞cbB、nm＜cbC、nm＝cbD、无法确定2选择第4题图PDCBA图5图67．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB边的距离为()A．18B．16C．14D．128．如图6，AE⊥BC于E，CA为∠BAE的角平分线，AD=AE，连结CD，则下列结论不正确的是()A．CD=CEB．∠ACD=∠ACEC．∠CDA=90°D．∠BCD=∠ACD9．在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A的度数为()A．40°B．36°C．70°D．60°10．在以下结论中，不正确的是()A．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上B．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等C．一个角只有一条角平分线D．角的平分线有时是直线，有时是线段三、解答题11．如图7所示，AE是∠BAC的角平分线，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点，求证：BD=CD。图7图8图912．如图8，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC的角平分线上。13．如图9，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC交于点P。求证：AP=BP。综合提高一、填空题14．如图10，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要DCBAE图113在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。图1015．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4cm，则△DEF的边中必有一条边等于______。16．在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为_____________。17．∠B=∠C=900，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=350，如图11，则∠EAB的度数是。18．△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的角平分线的交点为O，连结AO，若S△AOB=6cm2，则S△AOB=。二、选择题19．如图12所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6cm,则△DEB的周长为()。A.9cmB.5cmC.6cmD.不能确定ABCABCDEABCDEF图1220．下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等21．如图13，∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上22．如图14，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（）图13ADCB图14EF4A．DE=DFB．AE=AFC．△ADE≌△ADFD．AD=DE+DF23．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对三、解答题24．如图15，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D,F为垂足,DE⊥AB于E，且ABAC，求证：BE－AC=AE．25．如图16所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD．图16拓展探究一、解答题26．如图17，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且ABAC求证：BE－AC=AE．图17图1827．如图18，已知AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C，求证:DE=EC．28．如图19，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由．ABFCD图15DCABE图19513.3角的平分线的性质参考答案基础巩固一、填空题1.15；2.2；3.DE=DF=DG；4.4；5.130°二、选择题6.A7.C8.D9.A10.D三、解答题11．证：先证Rt△ACE≌Rt△ABE，推出AB=AC。再证△ABD≌△ACD(或△DCE≌△DBE)，得出DC=DB。12．证：在△DBE和△DCF中，90,,,BEDCFDBDECDFBDCD所以△DBE≌△DCF(AAS)。∴DE=DF。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的角平分线上。13．证：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB，BC⊥OA，∴PC=PD在△ACP和△BDP中，90,,,ACPBDPPCPDAPCBPD，∴△APC≌△BPD∴AP=BP。综合提高一、填空题14.作∠AOD、∠AOC(或∠BOD)的平分线与EF的交点；1；215.4cm或9.5cm16.1.5cm17.35°18.6cm2二、选择题19.C20.D21.B22.D23.C三、解答题24．证：过D作DN⊥AC,垂足为N,连结DB、DC则DN=DE，DB=DC，又∵DE⊥AB,DN⊥AC,∴Rt△DBE≌Rt△DCN，∴BE=CN．又∵AD=AD，DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA，∴AN=AE，∴BE=AC+AN=AC+AE，∴BE－AC=AE．25．证一（截长法）：如图1所示，过点D作BD⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线BACED图16∴∠CAD＝∠EAD，又∠DEA＝∠DCA且AD公共，∴△ADE≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，CD＝DE在△DEB中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形．∴DE＝EB，∴CD＝EB．∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB．证法二（补短法）：如图2所示，在AC的延长线上截取CM＝CD，连结DM．在△MCD中，∠MCD＝90°，CD＝CM∴△MCD是等腰直角三角形．∴∠M＝45°又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45°∴∠M＝∠B＝45°又∵AD平分∠CAD∴在△MAD与△BAD中ADADBADMA45BM＝＝＝∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即AC＋CD＝AB．拓展探究一、解答题26．证：过D作DN⊥AC，垂足为N，连结DB、DC，则DN=DE，DB=DC又∵DE⊥AB，DN⊥AC，∴Rt△DBE≌Rt△DCN，∴BE=CN又∵AD=AD，DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA∴AN=AE∴BE=AC+AN=AC+AE∴BE－AC=AE图327．证：在AB上截取AF=AD。∵AE是∠DAF的平分线(已知)∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义)在△DAE和△FAE中，)()()(公共边已证已作AEAEFAEDAEAFAD∴△DAE≌△FAE(SAS)∴DE=FE(全等三角形对应边相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等)∵∠AFE+∠BFE=1800(邻补角定义)又AD∥BC(已知)∴∠D+∠C=1800(两直线平行，同旁内角互补)∴∠BFE=∠C(等角的补角相等)ABCMD图27∵BE是∠ABC的平分线(已知)∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义)在△FBE和△CBE中)()()(公共边已证已证BEBECBFECBEFBE∴△FBE≌△CBE(AAS)∴FE=CE(全等三角形对应边相等)∴DE=EC．图428．结果：相等．34DCAB65(1)FE1234DCAB65(2)EF12证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF．在△ACE和△AFE中，12ACAFAEAE∴△ACE≌△AFE（SAS）518056180CACBDCD∠6=∠D在△EFB和△BDE中，634DBEBE∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB∴AC+BD=AF+FB=AB证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F8434ACBDF∠F=∠3在△AEF和△AEB中，312FAEAE∴△AEF≌△AEB（AAS）∴AB=AF，BE=FE在△BED和△FEC中，564BEFEF∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．