第12讲弯曲内力(Ⅰ)

材料力学教案1第12讲教学方案——弯曲内力(Ⅰ)基本内容弯曲内力、剪力图与弯矩图。教学目的1、掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念。2、熟练掌握用截面法求弯曲内力。3、熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图。重点、难点本节重点：用截面法求弯曲内力。本节难点：利用剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图。第十二讲2第四章弯曲内力§4-1概述图5-1为工程中常见的桥式起重机大梁和火车轮轴，它们都是受弯构件。弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。对称弯曲：梁的每一个横截面至少有一根对称轴，这些对称轴构成对称面。所有外力都作用在其对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于这个对称面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲，如图5-2所示。对称弯曲是弯曲问题中最常见的情况。§4-2剪力与弯矩静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。静定梁的基本形式有：简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁，如图5-3a所示。悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁，如图5-3b所示。外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图5-3c所示。材料力学教案3§4-3剪力与弯矩方程剪力图与弯矩图如图5-4a所示的简支梁，其两端的支座反力AR、BR可由梁的静力平衡方程求得。用假想截面将梁分为两部分，并以左段为研究对象（图5-4b）。由于梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡状态。据此，截面I―I上将产生内力，这些内力将与外力1P、AR，在梁的左段构成平衡力系。由平衡方程0Y，则01QPRA1PRQA这一与横截面相切的内力Q称为横截面I―I上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力对截面I―I的形心O取矩，其力矩总和应为零，即0Om，则0)(1xRaxPMA)(1axPxRMA这一内力偶矩M称为横截面I―I上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。剪力和弯矩均为梁横截面上的内力，它们可以通过梁的局部平衡来确定。剪力、弯矩的正负号规定：使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负，如图5-5所示；使梁的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负，如图5-6所示。第十二讲4一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：1．剪力、弯矩方程法若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即)()(xMMxQQ上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。根据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图时，首先要建立xQ和xM坐标。一般取梁的左端作为x坐标的原点，Q坐标和M坐标向上为正。然后根据截荷情况分段列出)(xQ和)(xM方程。由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。分段点截面也称控制截面。求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负号），并将这些数值标在xQ、xM坐标中相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。最后注明maxQ和maxM的数值。例4-1简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力由平衡方程0Bm和0Am分别求得qlRA83，qlRB81利用平衡方程0y对所求反力进行校核。（2）建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为坐标原点，建立x坐标，如图a所示。因在C处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。材料力学教案5AC段：qxqlxQ83)(1)20(lx212183)(qxqlxxM)20(lxCB段：qlxQ81)(2)2(lxl)(81)(2xlqlxM)2(lxl3．求控制截面内力，绘Q、M图Q图：AC段内，剪力方程)(1xQ是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值，qlQA83右，qlQC81左，分别以a、c标在xQ坐标中，连接a、c的直线即为该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如qlQB81左，连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图b所示。M图：AC段内，弯矩方程)(1xM是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，0AM，2161qlMC，分别以a、c标在xM坐标中。由剪力图知在d点处0Q，该处弯矩取得极值。令剪力方程0)(1xQ，解得lx83，求得211289)83(qllM，以d点标在xM坐标中。据a、d、c三点绘出该段的弯矩图。CB段内，弯矩方程)(2xM是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c、b标在xM坐标中，并连成直线。AB梁的M图如图c所示。