第13章动力学普遍方程习题解

1xOA习题13－1图Pxl/2*第13章动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程13－1图示均质细杆OA长为l，重力为P，在重力作用下可在铅垂平面内摆动，滑块O质量不计，斜面倾角，略去各处摩擦，若取x及为广义坐标，试求对应于x和的广义力。解：应用几何法，令0δx；0δ则：sin21δδ2sinδδPllPWQ令0δx；0δ则：sinδδsinδδPxxPxWQx13－2图示在水平面内运动的行星齿轮机构，已知固定齿轮半径为R，均质行星齿轮半径为r，质量为m，均质杆OA质量为m1，杆受矩为M的力偶作用而运动，若取为广义坐标，试求相应的广义力。解：应用几何法，设对应于的虚位移0δ则：MMWQδδδδ13－3在图示系统中，已知：均质圆柱A的质量为M、半径为R，物块B的质量为m，光滑斜面的倾角为，滑轮质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。若以和y为广义坐标，试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程求：（1）系统运动微分方程；（2）圆柱A的角加速度和物块B的加速度。解：（1）在系统上施加惯性力如图（a）所示。其中：)(IRyMFA；ymFBI2I21MRJMAA应用动力学普遍方程，0δ)sin(δ)sin(IIIIRMgMRFyMgFFmgAAAB可得系统运动微分方程：0sin)(MgRyMymmg0sin21)(2RMgMRRRyM整理后有：0)sin()(gmMMRyMm0sin23gyRMOA习题13-2图ABy习题13-3图ABy（a）mgMgFIAFIBMIA2应用第二类拉格朗日方程：2222)(21212121RyMMRymT；)(sinRyMgmgyVVTL2222)(21212121RyMMRym)(sinRyMgmgy)(ddRyMymyLt；sinMgmgyL0ddyLyLt；0)sin()(gmMMRyMm（a）)(21dd2RyRMMRLt；RMgLsin0ddLLt；0sin23gyR（b）（2）求圆柱A的角加速度和物块B的加速度。由式（b）得：sin23gRy代入式（a），有0)sin()sin23)((gmMMRgRMm解得：RmMmgA)3()sin1(2；mMgMmgmMmgyaB3)sin3(sin3)sin1(313－4在图示系统中，已知滑块A的质量为M，至于光滑水平面上，其上作用有水平力F，均质杆AB长2b，质量为m，若选取x和作为系统的广义坐标，试建立系统运动微分方程。解：应用第二类拉格朗日方程。对应于广义坐标x和的广义力分别为：FQx；sinmgbQ杆AB质心C的速度为：22)sin()cos(bbxvC系统的动能为：)cos2(2141212121222222bbxxmbmxMT)sincos(dd2mbxmxMxTt；0xTxQxTxTtdd；0sincos)(2FmbmbxMm（a）)sincos(31dd22xxmbmbmbTt；xmbTsinQTTtdd；0sincos342gbxbb（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。习题13-4图ABFxCmgxbMg313－5在图示系统中，已知：均质圆轮A的质量为M、半径为r，摆球B的质量为m、摆长为b，弹簧刚度为k，弹簧及刚杆AB质量不计，圆盘在水平面上作纯滚动。若选取和作为系统的广义坐标，设=0时弹簧为原长。试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。解：（1）在系统上施加惯性力如图（a）所示。其中惯性力为：MrFAI；2I21MrJMAAmrFBeI；mbFBtrI；2nrImbFB应用动力学普遍方程，0δ)sincos(nrItrIeIIIrFrFrFFrMrFBBBAA0δ)cossin(trIeIbFFmgBB可得系统运动微分方程（F=kr）：0)sincos()23(2mbkrrmM0sincosmgmbmr整理后有：02)sincos(2)23(2krmbrmM0sincosmgmbmr应用第二类拉格朗日方程：])sin()cos[(212121)(2122222bbrmMrrMT；2)(21cosrkbmgVVTL])(cos2)[(21)(43222brbrmrM2)(21cosrkbmg)sincos(23dd222mrbmrMrLt；2krL0ddLLt；02)sincos(2)32(2krmbrMm（a）)sincos(dd2mbrmbLt；bmgmrbLsinsin0ddLLt；0sincosmgmbmr（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。13－6图示系统由摆长为l、质量为m的摆锤和两根弹簧刚度为k的弹簧组成，弹簧、滑块A及刚杆AB的质量均不计，水平面光滑。若选取x和作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。习题13-5图ABkb习题13-6图xkkABl（a）ABkbMgmgMIAFIAFIBetrIBFFnrIBF4解：摆锤B的速度为：22)sin()cos(llxvB系统的动能、势能分别为：)cos2(21222llxxmT；2coskxmglVVTL)cos2(21222llxxm2coskxmgl)sincos(dd2mlxmxLt；kxxL20ddxLxLt；02sincos2kxmlmlxm（a）)sincos(dd2xxmlmlLt；sinsinmglxmlL0ddLLt；0sincos2mglxmlml（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。13－7在图示系统中，已知：物块A质量为m，均质圆柱B质量为M、半径为r，弹簧刚度为k，自然长度为d，圆柱B相对于物块A作纯滚动，物块A沿光滑水平面运动。若选取x和作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。解：系统的动能、势能分别为：2222)(214121rxMMrxmT；22)(21)(21rkdxkVVTL)(ddrxMxmxLt；)(dxkxL0ddxLxLt；0)()(dxkMrxMm（a）)(21dd2rxMrMrLt；2krL0ddLLt；023krMrxM（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。13－8在图示系统中，已知：摆球B的质量为m、摆长为b，弹簧的刚度系数为k，其他物体质量不计。若选取y从点A的静平衡位置算起）和作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。解：应用第二类拉格朗日方程：)sin2(21222bybymT；221coskymgbVVTL习题13-7图ABkxk习题13-8图ykABb5)cossin(dd2mbymyLt；kyyL0ddyLyLt；0cossin2kymbmbym（a）)cossin(dd2yymbmbLt；sincosmgbymbL0ddLLt；0sinsingyb（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。13－9重力为P1的楔块B放在光滑水平面上，铅直杆重力P2，均质圆盘重力P3，如图所示。在楔块上作用一水平力F。若圆盘在楔块斜面上作纯滚动，斜面与水平面的夹角为，试求楔块的加速度。解：此系统只有一个自由度，若选取x为广义坐标，应用第二类拉格朗日方程：2322232121)sin(4121OOvgPPrvrgPxgPT如图所示圆盘的速度瞬心在点D，且xvB，则：tancossinxrrvvBO223222321tan21cos4121xgPPxgPxgPTtan)(δδ)(δ3232PPFxrPPxFQOx；（tanδδxrO）xgPPxgPxgPxTt232231tancos2dd；0xTxQxTxTtdd；tan)(cos2sin)(2cos2322232321PPFxgPPPP)sin21()sincos(2cos]tan)([2232221232PPPPPFgxa13－10在图示系统中，已知：均质杆AB质量为m、长为b，光滑斜面的倾角为，滚轮A的质量不计。若选取x和作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。解：杆AB质心的速度为：22)]sin(2[)]cos(2[bbxvC系统的动能、势能分别为：2222212121]4)cos([21mbbbxxmT习题13-10图BAOx习题13-9图OBAFDvBvOx6cos2sinbmgmgxVVTL22222241]4)cos([21mbbbxxmcos2sinbmgmgx])sin()cos([2dd2bmxmxLt；sinmgxL0ddxLxLt；0sin)sin(2)cos(22mgbmbmxm（a）])sin()cos([2124dd22xxbmbmbmLt；sin2)sin(2bmgxbmL0ddLLt；0sin21)cos(21312mgbxmbmb（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。13－11系统由定滑轮A和动滑轮B以及三个重物组成，如图所示。重物M1，M2，M3的质量分别是m1，m2，m3，且m1m2+m3，m2m3，滑轮的质量忽略不计，若初瞬时系统静止，试求欲使M1下降，质量m1，m2和m3之间的关系。解：选取广