第13章静电场中的导体和电介质---教材习题

第13章静电场中的导体和电介质13.1一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）解：过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得E4πr2=q/ε0，可得P点的电场强度为204qEr．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为04cqUr．13.2同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即Φd=q=λl．设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为SdΦSDd012ddd2SSSrlDDSDSDS，可得电位移为D=λ/2πr，其方向垂直中心轴向外．电场强度为E=D/ε0εr=λ/2πε0εrr，方向也垂直中心轴向外．13.3金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？解：点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为000111444oqqQqUrab13.4三块平行金属板A、B和C，面积都是S=100cm2，A、B相距d1=2mm，A、C相距d2=4mm，B、C接地，A板带有正电荷q=3×10-8C，忽略边缘效应．求（1）B、C板上的电荷为多少？（2）A板电势为多少？解：(1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q1=σ1S和q2=σ2S，qobar图13.3qABC图13.4BoAPrArCrB图13.1DS1S2S0rR2R1εrl在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S---------①，A、B间的场强为E1=σ1/ε0，A、C间的场强为E2=σ2/ε0．设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU=E1d1=E2d2---------②，即σ1d1=σ2d2-----------③解联立方程①和③得σ1=qd2/S(d1+d2)，所以q1=σ1S=qd2/(d1+d2)=2×10-8(C)；q2=q-q1=1×10-8(C)．B、C板上的电荷分别为qB=-q1=-2×10-8(C)；qC=-q2=-1×10-8(C)．(2)两板电势差为ΔU=E1d1=σ1d1/ε0=qd1d2/ε0S(d1+d2)，由于k=9×109=1/4πε0，所以ε0=10-9/36π，因此ΔU=144π=452.4(V)．由于B板和C板的电势为零，所以UA=ΔU=452.4(V)．13.5一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？解：由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1+q2=0---------①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S，它们产生的场强大小分别为E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0．在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1-E2–E=0，即σ1-σ2–σ=0，或者说q1-q2+q=0----------②，解得电量分别为q2=q/2，q1=-q2=-q/2．13.6两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？解：由于左板接地，所以σ1=0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4=0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ2=-σ3．两板之间的场强为E=σ3/ε0，而E=U/d，所以面电荷密度分别为σ3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m-2)，σ2=-σ3=-8.84×10-7(C·m-2)．13.7一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式202214RCRR表示．（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径RR2）证：方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为1210012211441/1/RRCRRRRPq1q2ABq图13.5σ2σ1σ4σ3图13.6oR2R1R3外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为2023141/1/CRR．外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2=4πε0R2．并联电容为12120022144RRCCCRRR202214RRR．方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为0201`044qqRR，因此感应电荷为12`RqqR．根据高斯定理可得两球壳之间的场强为122002`44RqqErRr，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为1122ddRRRRUErEl121202()d4RRRqrRr1212021202()11()44RqRRqRRRR球面间的电容为202214RqCURR．13.8球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？解：球形电容器的电容为120012211441/1/RRCRRRR．对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：0121212RRCRR．当电容器中充满介质时，电容为：0122212rRRCRR．由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：01212212(1)rRRCCCRR．13.9设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．解：假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C1=ε1S/d1和C2=ε2S/d2．总电容的倒数为122112121212111ddddCCCSSS，总电容为122112SCdd．13.10圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其oR2R1εr图13.8d2ε1ε2d1图14.9长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为SdΦSDd012ddd2SSSrlDDSDSDS，高斯面包围的自由电荷为q=λl，根据介质中的高斯定理Φd=q，可得电位为D=λ/2πr，方向垂直中心轴向外．电场强度为E=D/ε=λ/2πεr，方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为21ddd2RLLRUErrrEl21ln2RR．电容为212ln(/)qlCURR．在真空时的电容为00212ln(/)lqCURR，所以倍数为C/C0=ε/ε0．13.11在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．解：（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为DrSDΦSSd2π4ddSD，高斯面包围的自由电荷为q=Q0，根据介质中的高斯定理Φd=q，可得电位为D=Q0/4πr2，方向沿着径向．电场强度为E=D/ε0εr=Q0r/4πε0εrr3，方向沿着径向．由于D=ε0E+P，所以P=D-ε0E=031(1)4rQrr．在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr=1的介质处理，所以D=Q0r/4πr3，E=Q0r/4πε0r3，P=0．（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为E0=Q0r/4πε0r3；极化电荷q1`产生的场强为E`=q1`r/4πε0r3；总场强为E=Q0r/4πε0εrr3．由于E=E0+E`，解得极化电荷为`101(1)rqQ，介质层内表面的极化电荷面密度为``01122111(1)44rQqRR．在介质层外表面，极化电荷为``21qq，面密度为``02222221(1)44rQqRR．13.12两个电容器电容之比C1:C2=1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？DS2S0rR2R1εlS1解：两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W=Q2/2C，得静电能之比为W1:W2=C2:C1=2:1．两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W=CU2/2，得静电能之比为W1:W2=C1:C2=1:2．13.13一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？解：平行板电容器的电容为C=ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C1=ε0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2=ε0εrS/2d．两个电容器并联，总电容为C=C1+C2=(1+εr)ε0S/2d，静电能为W=CU2/2=(1+εr)ε0SU2/4d．13.14一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．解：（1）如前所述，两电容器并联的电容为C=(1+εr)ε0S/2d．（2）电容器充电前的电容为C0=ε0S/d，充电后所带电量为Q=C0U．当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W=Q2/2C=C02U2/2C=ε0SU2/(1+εr)d．（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为C1=ε0S/2d；介质中的一半的电容为C2=ε0εrS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则Q1+Q2=Q---------①由于C=Q/U，所以U=Q1/C1=Q2/C2----------②解