清华大学断裂力学讲义ch3.

第三章：线弹性断裂力学断裂模式及对称性分析三型裂纹裂尖场的渐近解复变函数（回顾）三型裂纹裂尖场的解应力强度因子KK-G关系计算K的常用方法讨论0,3,3321u332032u反平面剪切问题（一个相对简单的问题）整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）渐近解为什么有如此渐近的形式？M.L.Williams.Onthestressdistributionatthebaseofastationarycrack.JournalofAppliedMechanics24,109-115(1957).133ˆuru0as0iur分离变量法33ˆ,urRru2223333222ˆ1ˆˆ0uRRRuuurrrr2223333222110uuuurrrr2222322321ˆ10ˆ1urRrRRrRruGeorgeRankineIrwinG.R.Irwin.Analysisofstressesandstrainsneartheendofacracktraversingaplate.JournalofAppliedMechanics24,361-364(1957).应力强度因子KI,II,III与G之间的关系G与裂纹延伸时能量的变化有关KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关KI,II,III与G之间的关系?1eeUUGABa2212032,0lim2,0,0IIIrIIIKrKrrKr首先假设固定位移加载针对III型裂纹1x2xuuaB113210lim2,0IIIxKxx1+-[phone],,=2,=IIIKuuaxuaxuaxaxA1x2xσa32131000321311001limlim,021lim,0,aABaaaaUUGxudxaaxuaxdxa3211,02IIIKxx22IIIKG针对I、II、III型裂纹2222IIIIIIKEKKG如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？1x2xσa1x2xuua2112MiKaOxxIIIIIIMi3,2,111111,,2,124MiiiiIIKaaaxuuaxuaxuaxIIII211002111001lim,021lim,0,aiiaaiiaGxudxaxuaxdxa【作业题3-5】21110,0,aiitipGaxuaxdxwa复合型裂纹dddFUaGFddUdawtip1x2xσa1x2xuuaFF2222IIIIIIKKKGE可由能量平衡来理解逐渐放松保持力过程这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。裂纹扩展能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得到的。在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I型断裂占优的路径。此外，I型断裂最为危险。2222IIIIIIKEKKGEKGI2平面应变断裂韧性：实验测量应力强度因子电测法光弹法热弹性法（ThermoelasticMethod）数字图像相关（Digitalimagecorrelation）裂尖应变裂尖温度场裂尖位移场裂尖主应力临界状态安全ICIKK基于应力强度因子的断裂准则KIC材料的断裂韧性（Fracturetoughness）实验测量KICASTMCompacttension(CT)Singleedgenotchbend(SENB)22.5ICyKB22.5ICyKa平面应变Crackmouthopeningdisplacement(CMOD)QQPaKfWBW此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：Westergaard应力函数法（Westergaardstressfunction）权函数法（Weightfunction）线性叠加法（Principleofsuperposition）0,2lim12101xxKixM应力强度因子求解应力强度因子的计算：IIIIIIMi3,2,1Westergaard应力函数法（Westergaardstressfunction）之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。I、II型裂纹40FReFzzzdz112212Re2Re2Imzzz122Re2Imuzuz34Planestrain3Planestress1应力函数应力场位移场Westergaard应力函数法（Westergaardstressfunction）dzzzzFRe00112＝，x,1x0ImIm0022xxzzzzzz,2FFAzzzx02yvxuxvyuzzAzzzZI2在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数(z)和(z)，其实在对称和反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。以I型问题为例：利用了对称性A为实常数解析延拓（定义见下页）：I型裂纹的Westergaard应力函数：附：解析延拓数学定理若1f在1R中解析，2f在2R中解析，且12RR，如果1212inffRR1212inffRR1f1R2f2RAZxZIIImRe211AZxZIIImRe222IZxRe212121ImRe212AxZxdzZuII222ReIm212AxZxdzZuII用Westergaard应力函数表示应力、位移应力场位移场zzZI22IzzAZz112212Re2Re2Imzzz122Re2Imuzuz当x2=0时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面。I型裂纹012,02122axxiAZxZIIImRe2220Re1AxZI12,0xaxax122IRzRzZAAzazaza1122,z例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板是ZI(z)两个枝点，可猜测无穷远处的边界条件：自由裂纹表面：22IzzZzazazaAZxZIIImRe211AZxZIIImRe2221x2x【作业题3-6】双轴加载，但水平与竖直方向远场应力不同一旦Westergaard函数已知，便可知道全场解12,0xax22IzZza1221221ReIxZxxa转换坐标到裂尖1rxaI型裂纹：1xra1220011lim,0lim22rrxaarxaxarar220lim2,0IrKrraIKa112ReImIIZxZ222ReImIIZxZIZxRe2121212ReIm2IIuZdzxZ2212ImRe2IIuZdzxZ应力场位移场裂纹面上221ReIZx21Im4IuZdzlim2IIzaKZzza2sin21sin2IZaWzW还可用Westergaard函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见Koiter，1959的工作）。如何猜测Westergaard函数？【题3-7】对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？并利用Westergaard函数证明裂尖应力强度因子。2tan2IWaKaaW2x1x共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强度因子，而共列裂纹则起相互屏蔽作用。ab1122Im2IIZ22111222IIIIiiZxZ12242IIIIIIuiuiZzdziZzdzxZzII裂纹的Westergaard应力函数2IIZziz裂纹面上应力场位移场12ReIIZ11Im4IIuZdz22IIzZzaII型中心裂纹承受远场均匀剪切IIKa2211111,04uxaxxalim2IIIIzaKiZzza3231IIIiZ3ImIIIuZIII型裂纹的复变函数表示方法应力场位移场III型中心裂纹承受远场均匀剪切22IIIzZza2231111,0uxaxxaIIIKa为了统一lim2IIIIIIzaKZzza根据边界条件猜测Westergaard函数边界条件32120,0xax321231,0xx3231IIIiZ11Re00,IIIZzxixaIIIZz11IIIIIIZzazaZzaza22IIIzZza裂纹面无穷远III型裂纹面上承受集中力1IIIZzaza1IIIZzaza0IIIZz~0IIITZzbizb~0IIITZzbizb22IIITTZzazazbzazb0IIITzbiZizb2222IIITabZzazb0IIITzbiZizb附：复变函数的性质22zaIII型半无限场裂纹面上承受集中力10IIIZzz~iIIITZzbezb~iIIITZzbezbIIITZzzbiIIITzbeZizbIIITbZzzbiIIITzbeZizbdAhfdhtKA权函数法顾名思义，加权累加，所以要求线弹性Bueckner,H.F.,“ANovelPrinciplefortheComputationofStressIntensityFactors.”ZeitschriftfürAngewandteMathematikundMechanik,Vol.50,1970,pp.529–545.Rice,J.R.,“SomeRemarksonElasticCrack-TipStressFields.”InternationalJournalofSolidsandStructures,Vol.8,1972,pp.751–758.JamesR.Rice※权函数法应力强度因子与裂纹几