第14章热力学第二定律解答

1第14章热力学第二定律14.1若准静态卡诺循环中的工作物质不是理想气体，而是服从状态方程4/3paT（a为常数）的物质，且其内能满足4UaTV．试证明该可逆卡诺循环的效率公式仍为211/TT．在p-V图上画出其卡诺循环．解：卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程构成。根据状态方程4/3paT，等温过程即为等压过程。对于一般过程，根据内能公式和状态方程，有43441434(3).3dQdUdWaTdVaTVdTaTdVdVdTaTVVT对于绝热过程，0dQ，故30dVdTVT，即绝热过程满足3TVC，或用压强表示为34pVC。故卡诺循环在p-V图上表示见图。下面计算12,QQ。由于都是等温过程，故443dQaTdV。因此，441114222344(),()33QaTVVQaTVV。又状态1－2和3－4由绝热过程联系起来，有333311221423,TVTVTVTV。故332222322331111141()()TTVTVQTQTTVTVT。故221111QTQT。14.2一热机工作于50℃与250℃之间，在一循环中对外输出的净功为51.0510J，求这一热机在一循环中所吸入和放出的最小热量．解：当该循环为卡诺循环时，吸热1Q和放热2Q都达到最小值，故此时pV1Q42Q1232221111QTQT。同时，12QQA。故12121212,ATATQQTTTT。将1323KT，2523KT，51.0510JW代入，可得55122.7510J,1.7010JQQ。14.3一制冰机低温部分的温度为-10℃，散热部分的温度为35℃，所耗功率为1500W，制冰机的制冷系数是逆向卡诺循环制冷机制冷系数的1/3．今用此制冰机将25℃的水制成-10℃的冰，则制冰机每小时能制冰多少千克？已知冰的熔解热为180calg，冰的比热为-1-10.50calgK．解：制冷系数2212112631.9533308263QTATT。故制冷机每小时从低温部分吸热621.9515003600J10.410JQA。又由212QcmtmLcmt冰水，得6231210.410kg22.6kg(125800.510)4.1810QmctLct冰水。14.4已知在p=1atm，T=273.15K时，冰融化为水时的溶解热为Q=80cal·g-1,求一千克的冰化为水时熵的变化．解：在冰化成水的过程中，温度保持不变，故233180104.18J/K1.210J/K273.15dQQmLSTTT。14.5一直立的气缸被活塞封闭有1mol理想气体，活塞上装有重物，活塞及重物的总质量为m，活塞面积为S，重力加速度为g，气体的定容摩尔热容量CV为常量．活塞与气缸的热容及活塞与气缸之间的摩擦均可忽略，整个系统都是绝热的．初始时活塞位置固定，气体体积为V0，温度为T0，活塞被放松后将振动起来，最后活塞静止于具有较大体积的新的平衡位置．不考虑活塞外的环境压强．试问：（1）气体的温度是升高，降低，还是保持不变？（2）气体的熵是增加，减少，还是保持不变？（3）计算气体的末态温度T．解：(1)按照热力学第一定律UAQ，而Q=0,0A，故U0。又因为理想3气体内能仅为温度的函数，故气体温度降低。（2）由于此过程是一个不可逆绝热过程，所以气体的熵增加。（3）这是一个不可逆等压过程，外界压强恒定，Smgp，该压强同时也是气体末态压强。整个过程外界对气体做的功为000()mgmgApVpVVpVVRTVSS。又对于1mol理想气体，有0()VUCTT。根据前面的分析UA，可得001()VmgTTVSC，其中/pVCC。14.6水的比热是3-1-14.1810JkgK．1kg、t1=0℃的水与一个t2=100℃的大热源相接触，直至水温达到t2。（1）这是可逆过程还是不可逆过程？对于水的该过程来说，积分21dQT等于多少？（2）计算水的熵增。解：（1）这是不可逆过程。积分21dQT中的T恒指外界（热源）温度。故对于该过程，2323114.18101100J/K1.1210J/K373dQcMtcMtdQQTTTTT水水.（2）设计这样的可逆过程，让水依次与温度高出一无穷小量的热源接触，直至其温度达到t2。于是21233211373ln4.18101lnJ/K1.3010J/K273TTTdQMcdTScMTTT水。可见，对于不可逆过程，21dQST。14.7理想气体经历一顺时针可逆循环，其循环过程在T-S图上表示为从300K，1×106J·K-1的状态等温地变为300K，5×105J·K-1的状态，然后等熵地变为400K，5×105J·K-1的状态，最后按一条直线变回到300K，1×106J·K-1的状态．试求它对外所做的功．解：循环过程如图所示。对于准静态可逆过程，TdSdQ，故T-S图中过程曲线下的面积就是系统所吸收的热量。于是，1→2过程为等温过程，熵是减小的，吸热为568121()300(510110)J1.510JQTSS12.2→3过程为等熵(绝热)过程，0Q23。3→1的过程方程为一条直线，吸热容易计算：TS123416581313311()()(300400)(110510)J1.7510J22QTdSTTSS31。于是，系统对外做功为8871.510J1.7510J2.510JAQQQ122331。14.8在一绝热容器中，质量为m，温度为1T的液体和相同质量、但温度为2T的液体，在一定压强下混合后达到新的平衡态，求系统从初态到终态熵的变化，并说明熵增加，设已知液体定压比热为常数pC．解：混合前后的内能是不变的。设混合后的平衡温度为T，则)()(21TTmcTTmcpp，故12()/2TTT。混合前后液体1和2的熵变分别为1212ln,lnppTTSmcSmcTT。于是，混合前后的总熵变为22121212()ln()ln4ppTTTSmcmcTTTT。因为21212()4TTTT，所以S0，即熵总是增加的。这符合熵增加原理。14.9如图所示，一摩尔理想气体氢气（1.4）在状态1的参量为1V=20L，1T=300K．在状态3的参量为3V=40L，3T=300K．图中1—3为等温线，1—4为绝热线，1—2和4—3均为等压线，2—3为等容线，试分别用三条路径计算31SS：（1）1—2—3．（2）1—3．（3）1—4—3．解：1.4pVVVCCRCC，故57,22VpCRCR。（1）1—2为等压过程，KTVVT6001122。2—3为等容过程。故在“1——2——3”过程中的熵变为(2)(3)60030031(1)(2)300600ln2pVdQdQdTdTSSCCRTTTT。习题14.9图pV1230420L40L5（2）“1—3”为等温过程，其熵变为2lnln13)3()1(13RVVRTdQSS。（3）1—4为绝热过程，满足144111VTVT。4—3为等压过程，有3434VVTT。联立两式，考虑到13300KTT，得2742300KT。则熵变为34327314134477()()0ln2ln222TTdQdTSSSSSSRRRTT。14.10一实际制冷机工作于两恒温热源之间，热源温度分别为T1=400K，T2=200K．设工作物质在每一循环中，从低温热源吸收热量为200cal，向高温热源放热600cal．（1）在工作物质进行的每一循环中，外界对制冷机作了多少功？（2）制冷机经过一循环后，热源和工作物质熵的总变化（△S）是多少？（3）如设上述制冷机为可逆机，经过一循环后，热源和工作物质熵的总变化应是多少？解：（1）外界对制冷机做功312400cal1.710JAQQ。（2）制冷机经过一循环后，工作物质回到原始状态，故其熵不变。系统熵的总变化为两热源的熵增之和：12126004.182004.18J/KJ/K2J/K400200QQSTT.（3）可逆绝热过程总熵不变。所以如果上述制冷机为可逆机，热源和工作物质熵的总变化为零。此时，200cal和600cal两个数据中至少有一个需要修改。14.11绝热壁包围的气缸被一绝热活塞分隔成A，B两室．活塞在气缸内可无摩擦地自由滑动．A，B内各有1mol双原子分子理想气体．初始时气体处于平衡，它们的压强、体积、温度分别为000,,pVT．A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为02p，试问：（1）最后A，B两室内气体温度分别是多少？（2）在加热过程中，A室气体对B室做了多少功？（3）加热器传给A室气体多少热量？（4）A，B两室的总熵变是多少？解：（1）B经历的是准静态绝热过程。设B的末态温度与体积分别为BT，BV；A的末温度与体积分别为AT，AV。双原子分子理想气体的57，则应该有01010)2(TpTpB。6所以B室气体温度为00720122.122TTTTB。另外，BVpVp0002，可以得到007561.02VVVB，而0039.12VVVVBA。对A应用理想气体物态方程，得到A室气体温度为00000078.239.122TTTVpVpTAA。（2）由于气缸和活塞都是绝热的，A室气体对B室气体做的功就是B室气体内能的增加：00005()(1.22)0.552BVBAUCTTRTTRT。（3）加热器传给A的热量等于A室气体和B室气体内能增量的和：0000(2.78)0.555ABVQUUCTTRTRT.（4）按照理想气体熵变公式000lnlnpTpssCRTp，可以知道0002lnln2.885AAppTSCRRTp，30002lnln2.810BBppTSCRRTp.则总熵变为2.888ABSSSR。14.12有两个热容都是C（C为常量）的相同物体A，B，其温度分别为AT和BT．若它们对外界绝热，（1）将这两物体直接进行热接触，它们的最终温度是多少？（2）若在两物体之间建立理想卡诺热机，在热机对外做功的同时两物体温度接近．两物体的最终温度是多少？热机对外做功多少？解：（1）设它们的最终温度为T，则由热平衡方程，有BATTCTTC，即2BATTT.7（2）设中间某一状态时两物体温度分别为12,TT，热机在一微小卡诺热机循环中从高温物体吸热1dQ，向低温物体放热2dQ，则22121111,dQTTTdAdQTTdQ。同时，两物体的温度改变满足1122,dQCdTdQCdT。联立以上各式，得12120dTdTTT，即12TTC。于是，终态温度满足2ABTTT，即ABTTT。而211211(1)(1)ABTTTdACdTCdTTT，故121(1)(2)ATABABABTTTACdTCTTTTT。