第14章网络函数

第十四章网络函数重点：1．网络函数及其相关的基本概念。2．了解网络函数的零、极点分布对时域响应（冲激响应）的影响。难点：1.了解网络函数的零、极点分布对频域响应（频率特性）的影响。2.从网络函数的角度重新理解滤波器。3.了解双二次函数对应的滤波特性相关知识的复习我们知道冲激响应即为电路的零输入响应，它与激励无关，体现电路本身的特性，而且任意电路的冲激响应容易通过实验得出。是否可以通过电路的冲激响应与输入信号本身的某种简单的计算，直接得出电路的响应呢？设电路的冲激响应为)(th激励响应激励为冲激函数)(t时：)()(tht激励延时的冲激函数)(t时：)()(tht冲激函数的强度为)(e时：)()()()(thete两边同时积分：dthedte)()()()(变化时，如果将对应于所有值的上述激励之和作为网络的输入，根据叠加定理，输出即为上述响应之和dthetrtedtte)()()()()()(即：dthete)()()(如果)(te对应的拉氏象函数为)(sE，)(th对应的拉氏象函数为)(sH，)(tr对应的拉氏象函数为)(sR，根据拉氏变换的性质：)()()(tytxtz，则：)()()(sYsXsZ，那么：)()()(sEsHsR14.1网络函数简介一、网络函数电路在单一激励作用下，其零状态响应)(tr的象函数)(sR与激励)(te的象函数)(sE之比，定义为该电路的网络函数)(sH，即：e(t)r(t)E(s)R(s)网络NH（s）)()()(sEsRsH二、网络函数的性质根据定义，当1)(sE时，)()(sHsR，也就是说，当激励的象函数为1时，响应的象函数就正好等于网络函数。而当)()(tte时，1)(sE，可见网络函数正好就是网络的单位冲激响应的象函数。对仅含R、L（M）、C及受控源等元件的网络，网络函数为s的实系数有理函数，其分子、分母的根可以为实数或者共轭复数。网络函数中不会出现激励的象函数。三、种类根据激励性质的不同——电压源或者电流源，响应选取的不同——任意两点的电压或者电流，可以将网络函数分为激励响应电压源电流源同一支路电压---------策动点阻抗同一支路电流策动点导纳---------不同支路电压电压转移比转移阻抗不同支路电流转移导纳转移电流比例题1：已知低通滤波器如图（a），求其转移导纳)()()(21sUsIsHi1(t)L1L2+i2(t)u(t)CR_I1(s)sL11sL2++I2(s)U(s)1/sCRUo(s)__首先根据时域电路绘出其运算电路（s域模型）如图（b）。1）转移导纳。根据网孔法：0)()1()(1)()(1)()1(221211sIsCsLRsIsCsUsIsCsIsCsL解出：RsLLsRLCsLLsUsI)()()(21213212因此，转移导纳为RsLLsRLCsLLsUsIsH)(1)()()(2121321212）转移电压比。节点1的电位为：)()]//(1[)//(1)(1221sUsLRsLsCRsLsCsV，而：)()(12sVRsLRsUo所以，转移电压比RsLLsRCLsLCLRRsLsCsLRsLsCRsLsCRsLRsLRsLsCRsLsCRsLsCRsLsCRsLRsLRsLsCRsLsCRsLRsUsUsHo)()()(1)(11)(11)(1)]//(1[)//(1)()()(21213212122212222212222例题2在图所示的由独立电流源i驱动的RC并联电路中，设电容初始状态为零，试求以电压u为响应的网络函数。+CGui_因为电压u是零状态响应，如果)(sU及)(sI分别为)(tu及)(ti的拉氏变换，则所求的网络函数为驱动点阻抗。因为RC并联电路的驱动点导纳是sCG，于是有)(1)(sIsCGsU因此sCGsIsUsH1)()()(例题3如图所示电路。求网络的转移阻抗)(/)(sIsUo。11/2sI2(s)+4+U(s)I1(s)2U0(s)_I(s)s_由分流关系可得：sssIssI2/124)()4()(2而sssIssIsUo2/16)()4(2)(2)(2所以1122)4(4)()()(2sssssIsUsHo例题4如图所示的运放电路中，已知21RR，，21CC，及baaRRRk。求网络的电压转移函数)()(sUsUio。C1R1R2++uiC2uoRb_Ra__∞++sC1G1G2sC2RbRa_∞++Va(s)Vb(s)Ui(s)Uo(s)题中所示电路的运算电路见图(b)。其节点电压方程是：0112222211oibasUCUGVVGsCGGGGsC由于题中的运放为理想运放，因此：oobaabkUURRRV将obkUV代入节点方程，得到待求的网络函数为：21212122122121])([)()()(GkGsGCGGkCGkCsCkCGGsUsUsHio代入给出的元件参数即可。14.2网络函数的零极点14.2.1零极点的定义网络函数)(sH的分子分母均为关于s的多项式，将之改写为因子相乘的形式njjmiinjminnnnmmmmpszsHpspspspszszszszsHasasasabsbsbsbsDsNsH1102121001110111)()()()())(()()())(()()()(其中，H0为常数，1z、2z、…、mz是0)(sN的根，1p、2p、…、np是0)(sD的根。当izs时，0)(sH，故称1z、2z、…、mz为网络函数的零点；当jps时，0)(sD，)(sH将趋近于无限大，所以称1p、2p、…、np为网络函数的极点。从前面所学的知识可知，)(sH的零极点为实数或共轭的复数。14.2.2零极图以s的实部为横轴，虚部为纵轴的坐标平面为复频率平面（复平面——s平面），在该平面中分别用“O”和“”表示出零、极点的位置，这就是)(sH的零极图。如：)]2323()][2323()[1()4)(2(2)33)(1()4)(2(236416122)(2232jsjsssssssssssssssH所以该网络函数对应两个零点：21z，32z；三个极点：11p，23232jp，23232jp。网络函数的零极图为：j1-4-224O-114.3极点与冲激响应14.3.1极点极点决定电路的冲激响应的变化规律。一般情况下，)(th的特性就是时域响应中自由分量的特性，而)(th又为网络函数所对应的时间函数，所以网络冲激响应的性质就取决于网络函数的极点在复频率平面上的位置。为了简化说明，我们假设网络函数为真分式，且仅含一阶极点。据此，我们来讨论极点在复频率平面上的位置与冲激响应之间的关系。(1)极点位于原点，即0jp，则冲激响应对应的特性为阶跃函数。(2)极点位于左半实轴，即0]Re[jp，0]Im[jp，则冲激响应按指数规律衰减。极点距原点越远，衰减越快。(3)极点位于右半实轴，即0]Re[jp，0]Im[jp，则冲激响应按指数规律增长。极点距原点越远，增长越快。(4)极点位于虚轴上，即0]Re[jp，虚极点成对出现（共轭虚数），则冲激响应为不衰减的自由振荡，即按照正弦规律变化。极点距原点越远，振荡频率越高。(5)极点位于左半平面但不包括实轴，即0]Re[jp，0]Im[jp，复数极点成对出现，则冲激响应为振幅按指数规律衰减的自由振荡。极点距虚轴越远，衰减越快；距实轴越远，振荡频率越高。(6)极点位于右半平面但不包括实轴，即0]Re[jp，0]Im[jp，复数极点成对出现，则冲激响应为振幅按指数增长的自由振荡。极点距虚轴越远．增长越快；距实轴越远，振荡频率越高。对上述各种情况可做进一步概括。当极点位于复频率平面的左半平面时，对应特性随时间的增加而减小，最后衰减为零，这样的暂态过程是稳定的；反之，当极点位于右半平面时，对应特性随着时间增加而发散，这样的暂态过程是不稳定的，这样的网络受到一个冲激作用后，响应会越来越大；当极点位于虚轴上时，属于临界稳定；另外，当极点位于实轴上时，响应是非振荡的，否则均为振荡的暂态过程。其情况如下图jIm[s]Re[s]14.3.2零点以无重根为例，当njjjnjjmiissApszsHsH1110)()()(，与之对应的冲激响应为njtsjteAthj1)()(而其中的系数jA则与零点有关。可见零点与极点一起共同决定冲激响应中的每一项的量值。例题：求图13.8(a)所示电路的网络函数)(/)()(sUsIsH，以及其零极点图，并根据极点位置定性说明响应的特性。1F1H11F1HiU=1VK+-(a)电路s1/s1/ssI(s)U(s)=s+-(b)运算电路j1-11O-1(c)零极点图h(t)Ot(d)电流i的冲激响应定性波形由电路可见，该电路为一个平衡的交流电桥，因此，1电阻两端电压为零，所以电路对应的复频域模型如图13.8(b)所示sssssZsIsU21)1(21)()()(2待求的网络函数为：分别令)(sH的分子与分母多项式为零，可以得到网络函数的零极点分别为：0z；jp1，jp2。网络函数的零极点图如图13.8(c)所示，由此可定性地得到网络的冲激响应为正弦响应，如图13.8(d)所示。14.4极点与频率响应14.4.1频率响应将网络函数)(sH中的s用j代替，即得)(jH，研究由0变化时，网络函数的变化情况，可以得到相应电路变量的正弦稳态响应随着频率变化的特性。|)(||)(|)(jHejHjHj式中|)(|jH为网络函数的模值，而)](arg[jH为网络函数的相位。1．幅频特性通常把|)(|jH随着变化的关系称为幅值频率响应，简称幅频特性，在以频率为横轴，|)(|jH为纵轴的平面上所绘出的曲线称为相应响应的幅频特性曲线。2．相频特性将随着变化的关系称为相位频率特性，简称相频特性，在以频率为横轴，)(为纵轴的平面上所绘出的曲线称为相应响应的相频特性曲线。14.4.2极点与频率响应由于)(jH实际上是)(sH的一种特例，因此，可以推论)(sH的零极点与相应电路变量的频率响应之间具有密切的关系。根据网络函数的表达式：))((212)(1)()()(2jsjsssssZsUsIsHnjjmiipjzjKjH11)()()(（13-8）有：njjmiinjjmiipjzjjHpjzjKjH1111)arg()arg()](arg[(（13-9）这样，我们就可以根据网络函数的零、极点，直接计算网络的频率响应，当然，也可以根据零极点在复平面中的位置，直观地看出零极点对电路频率响应的影响。我们用以下的例子加以说明。例13-7如图13.9(a)所示的RC并联电路，试定性地绘制出以电压为输出变量时，该电路的频率响应。i+CRu_(a)电路1d1d2d3|)(|jH32Rj0.707Rj31/Cd11/Cd2j21/Cd3O1=1/RC23j1O123-45o-1/RC(a)(b)-90o(c)零极点与频率响应(b)幅频特性曲线与相频特性曲线的关系示意图解：以输出电压u为电路变量的网络函数为RCsCsCGsIsUsH/1/11)()()(该网络函数)(s