第14讲向量空间向量的内积及正交性

授课时间第周星期第节课次14授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第十四讲向量空间、向量的长度、内积及正交性教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：了解向量空间的相关概念；掌握向量的内积、长度与夹角的定义；了解内积、长度与夹角的一些性质；掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；熟悉正交矩阵的定义及其正交矩阵的性质.教学重点及难点：重点：标准正交基；Schmidt正交化方法.难点：标准正交基的求法.教学基本内容备注一、向量空间1、定义1设V是nR的一个非空子集，若满足：（1）对任意,,VV．（V对加法封闭）（2）对任意V和任意,kRkV．（V对乘法封闭）则称V为一个向量空间．例1、nR构成n维向量空间．例2、}0|),,{(3213214xxxxxxV是3R空间．2、向量空间的基与维数定义2设V是一向量空间，它的一个最大无关组，称为它的一个基：12,r；其中向量个数r称为向量空间的维数，记rVdim，称V是r维向量空间．[注]零子空间的维数是0，3R的维数是3，12,,neee是nR的自然基．3、坐标及坐标变换定义3对于向量空间W的一组基12,n，任一向量11nnxx的线性表示系数是唯一确定的，称),,,(21nxxx为在基12,n下的坐标；而12(,,,)nxxx是在nR标准基下的坐标．例3、证明TTT)2,2,1(,)0,1,0(,)1,0,1(321是3R的一个基，求T)0,3,1(在此基下的坐标．定义4设V是m维向量空间，12,,,m与12,,,m是V的两组基，且：123123C，其中mmmmccccC1111是从基12,,,m到基12,,,m的过渡矩阵，上式称基12,,,m到基12,,,m的变换公式．定理V是m维向量空间，从基12,,,m到基12,,,m的过渡矩阵为C，V，关于旧基的坐标为mxx1，关于新基的坐标为myy1，则1112TTmyyCxx，称为从旧基到新基的坐标变换公式．例4、3F的一个基：123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)TTT，求自然基123,,eee到123,,的过渡矩阵，且求(2,1,3)T在基123,,下的坐标．二、欧氏空间引入：在三维空间中，设},,{zyxaaaa，},,{zyxbbbb，则：zzyyxxbabababababa,cos||||（数量积）aaaaaazyx222||，||||,cosbababa．此处，将三维空间中的数量积推广到n维向量空间中，称为内积：1、向量的内积：1）定义：设n维实向量Tnaaa),,,(21,Tnbbb),,,(21,定义与的内积),(为Tnnbababa2211),(=T．[注]此处定义的内积是标准内积，还有其它不同的内积定义．2）性质：Tnaaa),,,(21,Tnbbb),,,(21,Tnccc),,,(211)),(),(2)),(),(kk（k为常数）3)),(),(),(4)0),(；等号当且仅当0时成立．[注]以上均是数量积（内积）特有的性质．2、欧氏空间：定义了内积的实向量空间称为欧几里得空间，简称为欧氏空间．3、向量的长度：1）定义：实向量的长度（范数）定义为),(||．i)0时,0||；0时,0||．ii)||||kk)R(kiii)三角不等式：||||||2）单位向量：若1||，则称为单位向量．3）单位化：若1||，则||必是单位向量．4、Cauchy-Schwarz不等式：设是欧氏空间，,都有|||||),(|5、夹角：1）定义：设实向量0,0,称||||),(arccos,)0(为与之间的夹角．2）正交：若0),(,则称与正交（垂直）,记作．i)0,0时,2,；ii)零向量与任意一向量都正交．iii)勾股定理：若，则222||||||三、标准正交基1、标准正交基：设是欧氏空间，m,,,21是中m个非零向量,若它们两两正交,则称之为正交向量组；若还有它们的长度均为1，则称之为标准正交向量组；由标准正交向量组作成的一组基称为～.2、定理1：若组T:m,,,21是正交向量组，则组T是线性无关的.证明：设02211mmkkk，则0)0,(),(2211immikkk),,2,1(mi，从而由0),(ji)(ji有：0),(iiik),,2,1(mi，再由0i得到：0ik),,2,1(mi，故组T线性无关.3、Schmidt正交化方法：设m,,,21线性无关，取：11,1112122),(),(,222321113133),(),(),(),(………………111122221111),(),(),(),(),(),(mmmmmmmmm则m,,,21两两正交，且组},,,{21i组},,,{21i，),,2,1(mi.若取：||iii),,2,1(mi，则m,,,21是标准正交向量组.例1：将向量组T)0,0,1,1(1,T)0,1,0,1(2,T)1,0,0,1(3标准正交化．分析：先正交化，再单位化.例2：设T)1,1,1(1，T)0,1,1(2，求3，使321,,两两正交，并把321,,标准化（即单位化）.四、正交矩阵1、定义：若实矩阵nnA满足EAAT,则称nnA为正交矩阵．1)A是正交矩阵T1AA．2)A是正交矩阵EAAT．2、定理2：A是正交矩阵A的列（行）向量组是标准正交向量组.证明：),,,(),,,(2121nTTnTTTAA=nTnTnTnnTTTnTTT212221212111E所以：),(ii1iTi，（ni,,2,1）),(ji0jTi，（ji，nji,,2,1,）从而A的列向量组n,,,21是标准正交向量组.3、性质：1）若A是正交阵，则TA，1A与*A也都是正交阵.2）若BA,是同阶正交阵，则AB也是正交阵.作业：(1)复习P111-116；(2)预习P117-121；(3)P134：1,2（1）,4.教学后记：