第14讲柯西中值定理与洛必达法则2009

《数学分析I》第14讲教案1第14讲柯西中值定理与洛必达法则授课题目柯西中值定理与洛必达法则教学内容1.柯西中值定理；2.洛必达法则．教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限,掌握洛必达法则00型定理的证明.教学重点及难点教学重点：洛必达法则求各种不定式极限；教学难点：洛必达法则定理的证明.教学方法及教材处理提示(1)本讲的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限，特别强调洛必达法则在极限计算中的重要性，是计算极限的一种常用的有效方法.(2)采用讲练结合的授课方式，通过举例的形式，总结和归纳求各种不定式极限的方法，使每一位学生都能掌握此法则．(3)本讲的难点是洛必达法则定理的证明，特别是型的证明，但要求学生掌握洛必达法则00型定理的证明．(4)了解柯西中值定理.作业布置作业内容：教材133P:2，3，5（2，4，6，8，10，12），7（5，8）.讲授内容一、柯西中值定理定理6.5(柯西（cauchy）中值定理)设函数f和g满足(i)在],[ba上都连续；(ii)在(ba,)上都可导；(iii))()(xgxf和不同时为零；(iv)),()(bgag则存在),,(ba使得.)()()()()()(agbgafbfgf证：作辅助函数)).()(()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF易见)(xF在],[ba)上满足罗尔定理条件，故存在),(ba，使得.0)()()()()()()(gagbgafbffF因为0)(g(否则由上式)(f也为零)，所以得证.例1设函数f在[a,b])0(a上连续，在(ba,)内可导，则存在),(ba，使得.ln)()()(abfafbf证：设xxgln)(，显然它在],[ba上与)(xf一起满足柯西中值定理条件，于是存在ba,()，使得《数学分析I》第14讲教案20limx.1)(lnln)()(fabafbf整理便得所要证明的等式．二、不定式极限现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达(L’Hospital)法则．1．00型不定式极限定理6.6若函数f和g满足：(i)0)(lim)(lim00xgxfxxxx；(ii)在点0x的某空心邻域)(0xU内两者都可导，且0)(xg；Axgxfxx)()(lim0(A可为实数，也可为或)，则.)()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx证：补充定义0)()(00xgxf，使得f与g在点0x处连续．任取x)(0xU，在区间[xx,0](或[0,xx]上应用柯西中值定理，有,)()()()()()(00gfxgxgxfxf即)()()()(gfxgxf(介于).0之间与xx当令0xx时,也有,0x使得.)()(lim)()(lim)()(lim000Axgxfgfxgxfxxxxxx注意若将定理6.6中0xx换成,,,,00xxxxxx也可得到同样的结论.例2求.tancos1lim2xxx解：容易检验xxfcos1)(与xxg2tan)(在点0x的邻域内满足定理6．6的条件(i)和(ii)，又因212coslimsectan2sinlim)()(lim32xxxxxgxfxxx故由洛必达法则求得.21)()(lim)()(limxgxfxgxfxx例3求.)1ln()21(lim2210xxexx解：利用)1ln(2x～),0(2xx则得xxexxexxexxxxxx2)21(lim)21(lim)1ln()21(lim21022102210=1222)21(lim230xexx求.1xex例4《数学分析I》第14讲教案3解：这是00型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解．但若作适当变换，在计算上可方便些．为此，令xt，当0x时有0t，于是有.11lim1lim1lim000ttttxxteetee2．型不定式极限定理6.7若函数f和g满足：(i);)(lim)(lim00xgxfxxxxii）在某右邻域)(00xU内两者都可导，且;0)(xg（iii）Axgxfxx)()(lim0(A可为实数，也可为±,)，则.)()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx注：定理6.7对于00,xxxx。或xx,等情形也有相同的结论．例5求.lnlimxxx解：.01lim)()(lnlimlnlimxxxxxxxx例6求.lim3xexx解：.6lim6lim3limlim23xxxxxxxxexexexe注：不能对任何比式极限都按洛必达法则求解．首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件．1sinlimxxxx，虽然是型，但若不顾条件随便使用洛必达法则：,1cos1limsinlimxxxxxx就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论．3．其他类型不定式极限不定式极限还有00,0,1,0等类型．它们一般均可化为00型或型的极限。例7求.lnlim0xxx解：这是一个0型不定式极限，.0)(lim11lim1lnlimlnlim02000xxxxxxxxxxx例8求.)(coslim210xxx解：这是一个“1”型不定式极限．作恒等变形,)(coscosln1122xxxex其指数部分的极限xxxcosln1lim20是00型不定式极限，可先求得,212tanlimcoslnlim020xxxxxx从而得到21102)(coslimexxx。《数学分析I》第14讲教案4例9求xkxxln10)(sinlim（k为常数）。解：这是一个00型不定式极限，按上例变形的方法，先求型极限：,sincoslim1sincoslimln1sinlnlim000kxxxkxxxkxxkxxx然后得到kxkxexln10)(sinlim)0(k。当k=0时上面所得的结果显然成立．例10求xxxxln1)1(lim2。解这是一个0型不定式极限．类似地先求其对数的极限(型)：,1111limln)1ln(lim22xxxxxxx于是有.)1(limln12exxxx例11求).ln111(lim1xxx解：这是一个型不定式极限，通分后化为00型的极限，即.21ln21limln11limln111limln)1(1lnlim)ln111(lim11111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例12设{0,)(0,0)(xxxgxxf且已知0)0()0(gg，3)0(g，试求).0(f解：因为,)(0)0()(2xxgxfxf所以由洛必达法则得.23)0(210)0()(lim212)(lim)(lim)0(0020gxgxgxxgxxgfxxx注：(1)上例解法中，已知条件0)0(g用在何处?(2)如果用两次洛必达法则，得到)0(fxxgx2)(lim0.23)0(212)(lim0gxgx错在何处?例13求数列极限nnnn)111(lim2