第18讲化二次型为标准形

授课时间第周星期第节课次18授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第十八讲化二次型为标准形、规范形，惯性定理教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：了解化二次型为标准形的方法，即：配方法、正交变换法；掌握实二次型的规范形；掌握惯性定理。教学重点及难点：重点：正交变换法，惯性定理难点：正交变换的性质教学基本内容备注一、配方法（配成完全平方式的方法）1用配方法化二次型2221231223()2526fxxxxxxxx为标准形，并求变换矩阵。解：22222123223312323()()44()(2)fxxxxxxxxxxxxx令11231123223223333322yxxxxyyyyxxxyyyxxy，令xCy，111012001C，C为可逆变换阵。2化121323()222fxxxxxxx成标准形，并求变换矩阵C。解：令11221233xyyxyyxy，221213()2fyyyy231322yyyy232212322221233224222()2yyyyyyyyyy又令11112232233333zyyzzyyyzzzyyz，110100111110011111001001001C这时有222123222fzzz。先21x和1jxx，再22x和2jxx，，依次下去，仅平方项，可iijjijxyyxyy二、正交变换法若可逆变换xCy中，C是正交阵，称xCy是一个正交变换。正交变换可以保持内积、长度及夹角不变，即定理正交变换xCy保持向量的内积、长度及向量之间的夹角均不变。证:若xCy是正交变换，TCCE，取11xCy，22xCy则121212121212(,)()()(,)TTTTTxxxxCyCyyCCyyyyy，故内积不变，于是长度及夹角余弦均不变，因此正交变换保持图形的几何性质不变，这正式诸多实际问题采用正交变换化实二次型为标准形的原因。定理对于任意实二次型()TfxxAx总存在正交变换xCy，使得2221122xCynnfyyy，其中12,,,n是A的全部特征值，C的列向量12,,nPPP分别为A对应于12,,,n的特征向量。方法：（1）求各特征值；（2）取线性无关的特征向量组；（3）构造正交矩阵C。3用正交变换xCy化二次型121323()222fxxxxxxx成标准形.解:011101110A,11111111011101AE2211(1)110(1)(2)101对121时,取12(2,1,1),(0,1,1)TT对32时,取3(1,1,1)T令21063111623111623C,则正交变换xCy把二次型化为标准形2221232fyyy.与例2相比较,稍有异同.4在直角坐标系下,曲面方程为1213232221xxxxxx,试确定曲面的类型.解:由上例,有22212321yyy,知该曲面是单叶旋转双曲面.三、惯性定理及二次型的规范形由上面的例子可见,虽然二次型标准形不唯一,但非零项的项数、正、负项的项数均是不变的,这就是实二次型的惯性定理.定理设n元实二次型()TfxxAx,经两个实可逆线性变换xCy及xPz,化为标准形2221122()nnfxkykyky,2221122()nnfxzzz则(1,2,,)ikin中正数个数与(1,2,,)iin中正数个数相等,负数个数及零的个数也相等.其中正数个数p,称为正惯性指数;负数个数qrp,称为负惯性指数;正、负惯性指数是唯一确定的,r是实二次型的秩.实二次型经可逆线性变换xCy可化为标准形:22222112211pppprrdydydydydy(其中0,1,2,,idir)再作可逆线性变换1,1,2,iiiyzird,,1,iiyzirn则实二次型可化为22222121pprzzzzz,称之为二次型()TfxxAx的规范形,它仅含平方项,且系数为1或0.易知,实n元二次型的规范形是唯一确定的.综上所述,可得:定理任一n阶实对称矩阵A,必合同于对角阵111100此阵称为实对称阵A的合同规范形.定理任意两个n阶实对称阵合同的充要条件是他们的秩相等且正惯性指数也相等,即它们有相同的规范形.注:实对称阵是否合同与讨论范围有关,前面均在实数范围内讨论.如:1001A与1001B在实数范围内不合同(惯性指数不同).但在负数范围内可取可逆阵100Ci,有10101010001001TCACii,即A、B合同.作业：1、复习：P131-P1322、习题：P13629、31（1）教学后记：