第18讲平行四边形

让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)98第18讲平行四边形让……平行线相交吧，让我亲眼目睹它们相交吧——我会看到的，我还会宣称它们已经相交了，但我仍然不会接受它。——陀思妥耶夫斯基知识方法扫描四边形的问题主要涉及在一定条件下求边长、角度、面积以及证明这些量之间的等与不等的关系，四边形的问题一般可以化归为三角形问题来解决。平行四边形是一种特殊的四边形：两组对边平行的四边形叫平行四边形。平行四边形的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分。平行四边形的判定方法有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形经典例题解析例1．（1988年全国初中数学联赛试题）下面有四个命题：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边（3）一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。（4）一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。其中，正确的命题的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)4解命题（1）是假命题。如图（1）中的四边形ABCD，它满足命题的条件，∠A=∠C，AB=CD，但它不是平行四边形。命题（2）是假命题。如图（2），延长等腰△ADE底边ED至任意点O，以O为对角钱的交点作平行四边形ABCE，这时四边形ABCD满足AD=BC且AO=OC，但它不是平行四边形。命题（4）也是假命题，如图（3），四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，BD垂直平分AC，但四边形ABCD不是平行四边形。下面证明命题（3）是真命题。如图（4），四边形ABCD中，∠BAD=∠DCB，且命题。如图（4），四边形ABCD中，∠BAD=∠DCB，且OB=OD，以O为中心，将△ABD逆时针旋转180°。∵OB=OD,∴D与重合,B与D重合,点A与射线OC上的点A′不是C,则∠BA′D＞∠BCD。（A′在线段OC上，非点C），或∠BA′D＜∠BCD（A′在线段OC的延长线上）都与∠BA′D=∠BAD=∠BCD矛盾，所以A′即为C，即OA=OA′=OC，所以A′即为点C，即OA=OA′=OC，所以四边形ABCD是平行四边形。故选（A）。让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)99ABDCPQOCDBAEF例2．（1984年武汉市初二数学竞赛试题）ABCD是平行四边形，以AC为边在两侧各作一个正三角形ACP,ACQ。试证BPDQ为平行四边形。证明因△ACP与△ACQ都是正三角形，于是PA=AC=CQ=PC=AQ。故四边形PAQC为平行四边形。连结PQ交AC于O。则O点是AC的中点也是PQ的中点。连结BD，因ABCD是平行四边形，故BD与AC互相平分，即BD的中点也是O。因为PO=QO，BO=DO，所以BPDQ为平行四边形。例3．（1976年美国纽约初中数学竞赛试题）平行四边形相邻两边长5米和6米，一条对角线长为8米，另一条对角线长为k，求k。解我们先来证明下面的的“平行四边形定理”：平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和。右图中ABCD是平行四边形。作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足为E，F。显然△BCE≌△ADF，则BE=AF，CE=DF。故BD2+AC2=BF2+FD2+AE2+CE2=(AB+AF)2+FD2+(AB-BE)2+CE2=(AB+BE)2+CE2+(AB-BE)2+CE2=2(AB2+BE2+CE2)=2(AB2+BC2).下面运用这个性质解答原题，(k)2+82=2(52+62),k=58.例4．（第12届“希望杯”数学邀请赛培训题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，点P在BC上，PE⊥BC交BA的延长线于E，交AC于F。（1）求证：2AD=PE+PF；（2）平移PE，使P点在BC的延长线上，PE交BA的延长线于E，交AC的延长线于F，写出AD，PE，PF满足的关系式，并证明你的结论。ABCDEFP解（1）如图，延长AD至A’,使A’D=AD,连结A’C,延长EF交A’C于F’.∵在△ABC中，AB=AC,且AD⊥BC,∴AD平分BC，即BD=CD．又Rt△ADC≌Rt△A’DC，AC=A’C，∠ACD=∠A’CD，∴△CFF’为等腰三角形，FP=F’P.又∠CA’D=∠CAD=∠BAD,A’C∥AB,∴四边形AA’F’E是平行四边形，∴AA’=EF’,AA’=2AD,EF’=EP+PF’=EP+PF,ABCDEFPA'F'让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)100ABCEFHGABCEDF3421ABDCXMYNH故2AD=PE+PF。(2)AD、PE、PF满足关系式2AD=PE-PF.如图,延长AD到A’使A'D=AD，连接A’C并延长与EF相交于F’．则由(1)知PF=PF’，且AA'F'E是平行四边形，∴AA’=EF’，2AD=PE-PF’.例5．（1990年西安市初中数学竞赛试题）在等腰三角形ABC的两腰AB，AC上分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2,求证：EF≥1.证明作平行四边形ABCH，在HC上截取HG=AE，连结EG，显然四边形AEGH和BEGC也是平行四边形，EG=AH=BC=2。CG=BE=AB-AE=AC-CF=AF。在△EAF与△FCG中，AE=CF，∠EAF=∠FCG，AF=CG，所以△EAF≌△FCG。于是EF=FG。因2EF=EF+FGEG=2，故EF≥1.例6．（2001年北京市中学生数学竞赛试题）如图,在等腰△ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE。.求证:∠BAC=100°.证明由图及已知条件，△ADE中，AD=ED,△ADE为等腰三角形，其底角∠EAD必为锐角，所以等腰三角形ABC中，∠BAC为钝角，必是顶角。所以AB,AC是腰，有AB=AC。过C作AD的平行线，与过D所作BC的平行线交于点F，连结EF,易知BCFD为平行四边形,因此DB=CF,BC=DF,∠EAD=∠ECF.在△ADE与△CEF中,AD=CE,AE=DB=CF,∠EAD=∠ECF,所以△ADE≌△CEF,于是ED=EF.但是ED=BC=DF，△DEF是个对边三角形，∠EDF=60º。设∠BAC=α，则∠ADF=∠ABC=1802,∠DAE=180º-α，∠ADE=180º-2∠DAE=180º-2(180º-α)=2α-180º.由∠ADF+∠ADE=∠EFD=60º,得1802+（2α-180º）=60º，解得α=100º。即∠BAC=100°.。例7．（1963年武汉市数学竞赛试题）在平行四边形ABCD的边AB，AD上向外形作两个正方形ABMX，ADNY。求证：对角线AC与两正方形的顶点X与Y的联线互相垂直。证明．∵ABMX，ADNY是正方形，ABCD是平行四边形，∴AX=AB=DC，AY=AD，∠XAB=∠YAD=90°，AB∥DC。∴∠XAY=180º-∠BAD=∠4，∴△AXY≌△DCA，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90º，∴∠1+∠2=90º，∴AH⊥XY。ABCDEPFA'F'让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)101ABCDEF例8．在等边六边形ABCDEF中，DEFBCDFAB,FCDEB求证；CDEFAB,DEFB,.FBCD证明：如图，在六边形外作射线DG，使EDG.,AFECDGABC并在DG上截取DG=AB。连接AE，EG，GC，CA。DEFBCDFAB,FCDEBDEFCDEBCDBFAB,7201804ooF.360oFCDEB,,,ABEDBCDGABCEDG.EDGABC.EGAC同理，.CGAE从而四边形ACEG是平行四边形。.EGCEAC故DCGEGCDEGEDCDCGEACDEGFAEEACBAC.BAE.CDEFAB同理.DEFB.FBCD同步训练一选择题1．某平行四边形对角线的长为x,y,一边长为12,则x,y的值可能是（A）8与14（B）10与14（C）18与20（D）10与382．（2003年山东省“KLT快灵通杯”初中数学竞赛试题）已知四边形ABCD，从下列条件中：⑴AB∥CD；⑵BC∥AD；⑶AB＝CD；⑷BC＝AD；⑸∠A＝∠C；⑹∠B＝∠D。任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）（A）4种（B）9种（C）13种（D）15种3．如图，在□ABCD中，E，F分别在边BC，AB上，且FE∥AC，那么图中除了△DEC本身外与其面积相等的三角形共有（）个。（A）1（B）2（C）3（D）44.（第9届“希望杯”数学邀请赛试题）如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（）（A）60°（B）65°（C）70°（D）75°让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)102ABDCEFADCBNMPABCDEFGHPFEABCDABCDFE5．（1993年哈尔滨市初中数学竞赛试题）如图，□ABCD中，M，N分别是AD，AB上的点，且BM=ND，其交点为P，设∠CPB=α，∠CPD=β，则（）(A)α=β(B)αβ(C)αβ(D)α,β的大小不能确定二填空题6．（1997年陕西省初中数学竞赛试题）已知□ABCD中，E是AB的中点，AB=10，AC=9，DE=12，则□ABCD的面积S=________.7．如图，P为□ABCD内一点过P点分别作AB，AD的平行线，交平行四边形于E，F，G，H四点，若四边形AHPE的面积为3，四边形PFCG的面积为5，则三角形PBD的面积为________.8．（1994年北京市初二数学竞赛复试试题）如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC=11，FA-CD=3,则BC+DE=.9．（第9届“希望杯”数学邀请赛试题）已知平行四边形ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE＝5，DF＝8，则BE＋BF的长为___________.10．（第14届“五羊杯”初中数学竞赛试题）五羊大学建立分校，校本部与分样隔着两条平行的小河。如图，l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸。图中的尺寸是：甲河宽8m，乙河宽10m，A到甲河垂直距离40m，B到乙河垂直距离20m，两河距离100m，A，B两点水平距离（与小河平行方向）120m，为使A，B两点间来往路程最短，两座桥都按个目标而建，那么，此时A，B两点间来往的路程是________m。三解答题11．（1997年江苏省初中数学竞赛试题）已知四边形ABCD，从①AB∥DC；②AB=DC；③AD∥BC；④AD=BC；⑤∠A=∠C；⑥∠B=∠D中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合。12．如图，以□ABCD的两边CD，CB为边分别作等边三角形CEB和等边三角形CDF，连结AE，AF，EF。求证：△AEF也是等边三角形。13．（第八届大连“育英杯”初中数学竞赛试题）如图，让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧