第22章一元二次方程复习

第22章一元二次方程复习（1）一元二次方程及其解法樊城区太平店中学刘玉萍一、内容与内容解析1、内容复习一元二次方程及其有关的概念，一元二次方程的基本解————配方法、公式法、因式分解法，一元二次方程根与系数的关系等知识，建立知识体系，综合运用一元二次方程的知识解决有关的问题。2、内容解析本章学习了一元二次方程。在学习中通过具体实例认识了一元二次方程，探索了一元二次方程的解法，研究了实际问题与一元二次方程，分别讨论了传播问题、增长率问题和几何图形面积问题。本章的重点是一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。这些知识都是方程领域的基础知识，在以后学习“二次函数”中“用函数的观点看一元二次方程”也要用到，这部分内容掌握不好，将会影响后续内容的学习。学好这部分内容的关键是要使学生理解一元二次方程的一般形式；一元二次方程根的情况；一元二次方程根与系数的关系等知识。并将一元二次方程与一元一次方程作类比，因为一元二次方程是一元一次方程的拓展和延伸，一元一次方程是学习一元二次方程的基础。在本章的学习过程中需要学生通过观察、对比、归纳、类比等来发现一元二次方程的解法，同时还要注意引导学生分析方程的特点，引导学生进行转化，是学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题的思考方法。作为本章复习课的第一节课，本节主要复习一元二次方程的有关概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的根与系数的关系。本节内容是对本章重点知识的巩固和提高，通过复习使学生能够熟练地选用适当的方法解一元二次方程，进一步体会一元二次方程化归降次的思想。由以上的分析，确定本节课的教学重点是：灵活应用一元二次方程的解法解决有关的问题。二、教材解析本节课主要内容是复习巩固一元二次方程有关概念和一元二次方程的解法及根与系数的关系等知识，重点是一元二次方程的解法。在知识回顾的过程中，结合问题让学生通过独立思考，回顾所学的内容，建立相应的知识结构图。学习一元二次方程时，学生处于对掌握的解法进一步巩固和提高阶段。在典型例题和变式练习中，把一元二次方程和一元一次方程结合，题目比以前复杂一些，要学生综合应用所学的知识来分析解决问题，进而提高学生的分析问题的能力。三、目标和目标解析1．目标（1）复习巩固一元二次方程及有关概念，一元二次方程的解法等知识，形成知识体系，建立知识结构图。（2）灵活应用一元二次方程的解法解决有关的问题，渗透转化思想，发展学生分析问题和解决问题的能力。2．目标解析目标（1）是让学生通过独立思考相关的问题，复习本节课的重点内容，形成知识体系，体会研究方程问题的思想和方法。达到目标的标志是：通过学习本章的主要内容，理解一元二次方程的概念，理解解法的多样性及合理性，并能结合知识体系构建过程体会研究方程问题的一般思想和方法。目标（2）是通过例题和变式训练使学生能够综合应用所学的知识，树立转化思想，学会把未知化已知的思考方法，进一步提高学生的分析问题，解决问题的能力，达到目标的标志是学生能够较熟练地选用合适的方法解决问题。四、教学问题诊断分析在本节课之前，学生已经学习一元一次方程，二元一次方程组及可化为一元一次方程的分式方程，并能够应用它们解决简单的问题。本节课通过对一元二次方程的复习，让学生体会一元二次方程解法的多样性，这就要求学生具备一定的观察思维能力和分析问题、解决问题的能力，是对学生提出的新的挑战。教学时教师应注重引导学生根据已知条件和问题，分析解决思路，引导学生学会转化。根据以上的分析，本节课的教学难点是：一元二次方程的解法的灵活选用。五、教学过程设计1、知识梳理问题（1）：请同学们完成下列问题：1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x+y=2B.ax2+bx+c=0C.x2+3=2xD.21x-x=52.把方程（3x-2）(x+1)=8x-3化为一般形式为，其中二次项系数是，一次项是，常数项是。3.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（）A.x2-2x=5B.2x2-4x=5C.x2+4x=5D.x2+2x=54.关于x的方程x2-3x+1=0的根的情况。5.方程x(x-1)=x的根为。【师生活动】教师出示问题，给学生3~4分钟时间独立思考并完成这五道题，然后教师组织学生逐题展示交流。【设计意图】实践表明仅让学生停留在机械的回忆知识点，效果不佳。本节课设计的知识回顾是将知识点习题化，即把这节要复习的知识点（一元二次方程及相关的概念，配方法，因式分解法，根的判别式，）直接通过五道题（填空或选择）以习题的形式呈现出来，让学生通过完成练习，既梳理了相关的知识点，又强化了对基本知识和基本方法的认识，为例题的讲解做好知识铺垫。题目设计时主要考虑基础知识和基本技能的直接呈现，注重基础性。2、体系建构问题2：请同学们通过以上的问题整理一下一元二次方程这一单元所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？【师生活动】结合知识梳理，引导学生梳理知识点，并画出知识结构图。一元二次方程程实际问题与一元二次方根的判别式因式分解法公式法配方法直接开平方法一元二次方程的解法一元二次方程的概念acb4:2一元一次方程二元一次方程组分式方程一元二次方程二元化为一元化分式方程转化为整式方程（一元一次方程）归一元二次方程转化为一元一次方程【设计意图】通过与学生一起梳理知识点，并画出知识结构图，将本章的知识点条理化、系统化。同时对初中阶段的方程进行归纳小结，让学生体会解方程的化归思想。问题3：结合本章的知识结构图，回顾本章的学习过程，在解一个一元二次方程时，结合方程的特点怎样选择适当的解法？【师生活动】对于这个问题，教师可以做适当的引导，引导学生从方程的形式特点观察，能否把方程的左边因式分解，右边等于0；若方程不能进行因式分解，方程的二次项系数不是1时，一般选用公式法解；方程的二次项系数是1，一次项系数能被2整除时，一般选用配方法解。【设计意图】此问题是让学生明确解一元二次方程的一般思路和方法。3.典型例题例1.关于x的方程（m-3）x1m+5x=0.(1)若此方程是一元二次方程，求m的值；(2)若此方程是一元一次方程，求m的值。【师生活动】学生独立完成，教师强调解题格式，展示学生中书写规范的。最后老师引导学生总结本题所用的数学知识和思想方法。【设计意图】此题意在让学生对一元二次方程和一元一次方程的概念加深理解，会把语言文字数字化，同时培养学生分类讨论的数学思想。例2．用你喜欢的方法解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11(2)2x2+3x=3(3)(2x-1)2=(3-x)2【师生活动】学生先独立完成，然后小组交流讨论每个小题的解题方法，并比较出哪一种方法更好一些，为什么你要选那种方法？【设计意图】每个题目都有多种方法来解，目的是让学生能够熟练的选用适当的方法解一元二次方程，培养学生多角度思考问题的习惯，树立优化意识，锻炼学生思维的灵活性，提高学生分析、解决问题的能力。例3.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0（1）求证：无能k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根。(2)若x=k-1,求k的值。【师生活动】学生先独立完成，然后小组交流解题思路，师追问学生此题考查什么知识点？遇到此类题目你应该如何去解决？【设计意图】此题主要是想让学生加深对根的判别式的理解、配方的方法应用及方程的根的理解，因为配方是学生的难点，通过练习提高学生正确配方的能力。4.归纳小结：教师和学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：通过本节课的复习，谈谈你对解一元二次方程的方法选择的思路及一元二次方程的根的情况的判定有何技巧。【师生活动】老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，引导学生从以下两个方面：1、知识；2、思想方法进行归纳小结。【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学内容，熟悉用适当的方法解一元二次方程，体会“降次”和“化归”、分类讨论的数学思想方法。5、课堂检测：1、关于x的一元二次方程22120axx是一元二次方程，则a满足（）A.1aB.1aC.1aD.为任意实数【设计意图】此题意在考查学生对一元二次方程的概念理解及解简单的一元二次方程。2、解方程251351xx的适当方法是（）A．开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法【设计意图】此题注意考查学生对一元二次方程解法的适当选择，培养学生善于观察思考的好习惯。3、关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【设计意图】此题意在考察学生对根的判别式的应用及一元二次方程二次项系数不等于0的考点，培养学生全面思考问题的能力。4、等腰ABC△两边的长分别是一元二次方程2560xx的两个根，则这个等腰三角形的周长是。【设计意图】此题考查用因式分解法解方程，同时考查等腰三角形多种情况，渗透分类讨论思想。此题是一道几何和代数相结合的较好的题型。5、用两种方法解方程：4x2-6x-3=0【设计意图】此题表面是开放的，其实也只能用配方法和公式法解，意在考查学生一题多解，并学会灵活选用适当的方法解决问题的能力。6、已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；【设计意图】此题进一步考查学生对方程的解的理解，及解方程的能力；此题求k也可以用根与系数的关系，学生自由选择自己喜欢的方法。6.布置作业复习题22第1、4题。7、课外拓展：已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且1222xx，求m的值，并求出此时方程的两根【设计意图】通过拓展练习满足不同层次学生的需求，作为检测的延伸，既可以在课堂完成，也可以作为课外作业完成。