第1章作业题-讲评

1-6已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为32262ttx,式中x的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点在运动开始后4.0s内的位移的大小；(2)质点在该时间内所通过的路程；(3)t＝4s时质点的速度和加速度．分析位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t时间内的位移Δx的大小可直接由运动方程得到：0Δxxxt,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0ddtx来确定其运动方向改变的时刻tp,求出0～tp和tp～t内的位移大小Δx1、Δx2,则t时间内的路程21xxs,如图所示,至于t＝4.0s时质点速度和加速度可用txdd和22ddtx两式计算．解(1)质点在4.0s内位移的大小m32Δ04xxx(2)由0ddtx得知质点的换向时刻为s2pt(t＝0不合题意)则m0.8Δ021xxxm40Δ242xxx所以,质点在4.0s时间间隔内的路程为m48ΔΔ21xxs(3)t＝4.0s时1s0.4sm48ddttxv2s0.422m.s36ddttxa1-7一质点沿x轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示．设t＝0时,x＝0．试根据已知的v-t图,画出a-t图以及x-t图．分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t图上是平行于t轴的直线,由v-t图中求出各段的斜率,即可作出a-t图线．又由速度的定义可知,x-t曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x-t图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t图为t的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t图．解将曲线分为AB、BC、CD三个过程,它们对应的加速度值分别为2sm20ABABABttavv(匀加速直线运动)0BCa(匀速直线运动)2sm10CDCDCDttavv(匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a-t图［图(B)］．在匀变速直线运动中,有2021ttxxv由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x-t图．在2～4ｓ时间内,质点是作1sm20v的匀速直线运动,其x-t图是斜率k＝20的一段直线［图(c)］．1-9质点的运动方程为23010ttx22015tty式中x,y的单位为m,t的单位为ｓ．试求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向．分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解(1)速度的分量式为ttxx6010ddvttyy4015ddv当t＝0时,vox＝-10m·ｓ-1,voy＝15m·ｓ-1,则初速度大小为120200sm0.18yxvvv设vo与x轴的夹角为α,则23tan00xyαvvα＝123°41′(2)加速度的分量式为2sm60ddtaxxv,2sm40ddtayyv则加速度的大小为222sm1.72yxaaa设a与x轴的夹角为β,则32tanxyaaββ＝-33°41′(或326°19′)1-15一质点具有恒定加速度a＝6i＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0＝10mi．求：(1)在任意时刻的速度和位置矢量；(2)质点在Oxy平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．分析与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即20021tatxxxxv和20021tatyyyyv,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．解由加速度定义式,根据初始条件t0＝0时v0＝0,积分可得tttt000)d46(ddjiavvjitt46v又由tddrv及初始条件t＝0时,r0＝(10m)i,积分可得ttrrtttt00)d46(dd0jirvjir222)310(tt由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x＝10＋3t2y＝2t2消去参数t,可得运动的轨迹方程3y＝2x-20m这是一个直线方程．直线斜率32tanddαxyk,α＝33°41′．轨迹如图所示．1-18飞机以100m·ｓ-1的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1)此时目标在飞机正下方位置的前面多远？(2)投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3)物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？分析物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx、vy求出,这样,也就可将重力加速度g的切向和法向分量求得．解(1)取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x＝vt,y＝1/2gt2飞机水平飞行速度v＝100m·s-1,飞机离地面的高度y＝100m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离m4522gyxv(2)视线和水平线的夹角为o5.12arctanxyθ(3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为vvvgtαxyarctanarctan取自然坐标,物品在抛出2s时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为2sm88.1arctansinsinvgtgαgat2sm62.9arctancoscosvgtgαgan1-22一质点沿半径为R的圆周按规律2021bttsv运动,v0、b都是常量．(1)求t时刻质点的总加速度；(2)t为何值时总加速度在数值上等于b？(3)当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈？分析在自然坐标中,s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s＝s(t),对时间t求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2/R．这样,总加速度为a＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st-s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．解(1)质点作圆周运动的速率为btts0ddvv其加速度的切向分量和法向分量分别为btsat22dd,RbtRan202)(vv故加速度的大小为R)(402222btbaaaattnv其方向与切线之间的夹角为Rbbtaaθtn20)(arctanarctanv(2)要使｜a｜＝b,由bbtbRR4022)(1v可得bt0v(3)从t＝0开始到t＝v0/b时,质点经过的路程为bssst2200v因此质点运行的圈数为bRRsnπ4π220v1-24一质点在半径为0.10m的圆周上运动,其角位置为342tθ,式中θ的单位为rad,t的单位为ｓ．(1)求在t＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ值为多少？(3)t为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解(1)由于342tθ,则角速度212ddttθω．在t＝2ｓ时,法向加速度和切向加速度的数值分别为22s2sm30.2ωratn2s2sm80.4ddtωratt(2)当22212/tntaaaa时,有223ntaa,即422212243trrt得3213t此时刻的角位置为rad15.3423tθ(3)要使tnaa,则有422212243trrtt＝0.55ｓ1-26如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ角,速率为v2′,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？分析这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足hlαarctan．再由相对速度的矢量关系122vvv,即可求出所需车速v1．解由122vvv［图(b)］,有θθαcossinarctan221vvv而要使hlαarctan,则hlθθcossin221vvvθhθlsincos21vv