第1章勾股定理教案

北师版八年级上册《数学》第一章《勾股定理》授课者：陈小冰1第1章勾股定理§1、1探索勾股定理一、学习目标1．经历探索数格子的方法发现勾股定理，并利用拼图的方法论证勾股定理的存在。2．结合具体的情境，理解和掌握“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。3．探索和实际操作掌握勾股定理在实际生活中的应用。4．体会勾股定理的悠久历史及重大意义，通过定理的探索、验证过程，培养学生的数学转化能力、观察分析能力，进一步渗透数形结合思想，提高学生解决问题的能力。二、重点难点重点：对勾股定理的理解，以及运用勾股定理去解决一些相关的实际问题。难点：勾股定理的探索和验证过程中，进一步体会数形结合的思想，学习中应注意加辅助线的方法。三、教学过程教学过程（第一课时）（一）创设情境：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。介绍章前的图文：我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。回答：1．课本图正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。正方形B中有个小方格．即B的面积为个面积单位。正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位。2．你是怎样得出上面结果的？3．A、B、C之间的面积之间有什么关系？注意：A+B＝C，提出图中A、B、C的关系呢？（二）做一做总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。（三）议一议1．图中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2．你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么222cba我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。3．分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（斜边为13）北师版八年级上册《数学》第一章《勾股定理》授课者：陈小冰24．练习：P52题这里的29英寸（74厘米）的申视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？（四）巩固练习精选练习，练习1(填空题)已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。练习2(填空题)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。练习3已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：(1)高AD的长；(2)△ABC的面积ABCS。第二课时（一）创设问题情境我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学们交流，接着提问：大正方形的面积可表示为什么？同学们回答有两种可能：（1）2)(ba（2）2421cab（二）讲解例题例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的∠C＝90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB北师版八年级上册《数学》第一章《勾股定理》授课者：陈小冰3的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。解：由勾股定理得)(945222222千米ACABBC即BC=3千米飞机20秒飞行3千米．那么它l小时飞行的距离为：5403203600（千米／时）答：飞机每小时飞行540千米。（三）练习：随堂练习；数学理解第三课时（一）在经历了数格子与拼图之后，同学们对于勾股定理已清晰的理解了，并且也有了一些应用的能力。在我们几何学中补（即拼）与割是常用的作图方法。那么对于“割”在直角三角形的勾股定理中又如何体现呢？（二）操作：把最小与最大的两个正方形分别绕着直角三角形的直角形与斜边对折，可得到如课本之图，以勾为边的正方形假定为“朱方”，以股为边的正方形假定为“青方”，用移动的方法可以将朱、青二方并成弦方。依据它们的面积关系有：222cba。这就是我国历史上有名的魏晋时期的刘徽的“青朱出入图”。上面的方法是几何学中典型的割补作图法的割法作图，它只须移动几块图形就直观地证明了勾股定理，真是“无字证明”，伟大的证明。（三）练习：随堂练习：（四）、布置作业（五）、课时小结本节课经历了数格子、拼图、与割补的方法对勾股定理多方面的学习，使学习在理解的基础上得到应用。(六)、课后反思§1、2能得到直角三角形吗一、学习目标1．通过实际作图得到直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），弄清定理的条件和结论，并能与勾股定理相区别。2．能够运用勾股定理逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形，并能进行简单的应用。3．理解勾股数的含义，探索常用勾股数的规律。4．学习本节知识，要仔细观察图形，亲自做一做，验证三角形的三边长a、b、c是否满足条件222cba。学习中要注意利用数形结合的方法来帮助理解问题、解决问题，并及时运用所学的方法来尝试解决一些有关的实际问题。二、重点难点北师版八年级上册《数学》第一章《勾股定理》授课者：陈小冰4重点：通过作图得到直角三角形的差别条件（即勾股定理的逆定理）和探索勾股数的规律，难点：如何确定三角形三边中的最大边，以及利用222cba。三、教学过程第一课时（一）引入1．复习勾股定理；2．复习直角三角形的有关概念（定义、角、边）。3．提出问题：从角中我们可以判别三角形是否为直角三角形，那么从边上又将如何判别？（二）总结，得出勾股定理的逆定理。1．通过运用SSS的作图方式得到符合222cba的三边能构成一个直角三角形。2．总结得出勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222cba，那么这个三角形是直角三角形。并把满足222cba的三个正整数，称为勾股数。（三）例题讲解1．例12．练习：（随堂练习）（四）、课时小结本节通过作图得到了勾股定理的逆定理，并总结了勾股数。(五)、课后反思§1、3蚂蚁怎样走最近一、学习目标1．明确解决路线最短问题，应转化为“在同一平面内，两点之间线段最短”，也就是将原来的曲面或多面展成一个平面去解决，培养学生将空间问题转化为平面问题去解决的能力。2．构造直角三角形，运用勾股定理求线段的长。二、重点难点重点：勾股定理的应用是现实生活中的“线路最短”问题，重点是将曲面或多面转化为平面，并注意立方体的展开图的不同方法。难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。三、教学过程1．创设问题情境，引入新课前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度。所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米。北师版八年级上册《数学》第一章《勾股定理》授课者：陈小冰5所以至少需13米长的梯子。2．讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近ABAB问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形。用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图)。我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B。哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短。因为“两点之间的连线中线段最短”。②、做一做：李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测∠DAB=90°，∠CBA=90°。连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形。很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题。3．练习：随堂练习14．试一试四、课时小结北师版八年级上册《数学》第一章《勾股定理》授课者：陈小冰6这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题。我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型。五、课后反思§1、4回顾与思考本章教材的知识点主要有勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用一、构建知识网络应用勾股逆定理直角三角形的判定应用历史勾股定理三边的关系直角三角形————、二、复习指导在运用勾股定理时一定要有三角形为直角三角形这个前提；在判定一个三角形是否为直角三角形时不能只从某两条边的平方和是否等于第三边的平方来进行判断，我们的建议是找出所有的情形再判断（当然成立的情形只有一种可能）。另外通过图形展开求最近距离体现了勾股定理的运用。注意展开方式是否唯一。三、典型例题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于点D，△ABC的周长是24，BC：AC=3：4，求AB和CD的长。分析：设BC=x3，AC=x4，则22222225169xxxBCACAB故xAB5，2,24543xxxx2．勾股数：（1）（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（9，12，15）；（8，15，17）；（10，24，26）；（16，30，34）；（20，48，52）；（11，60，61）……（2）（nnn5,4,3）；（22nm，mn2，22nm）；（12n，n2，12n）；（122,12,2222nnnnn）3．观察下面的表格所给出的三个数cbacba,,,，（1）试找出它们的共同点，并说明你的结论；（2）当21a时，求cb,的值。解：（1）各组数的共同点是：各组数均满足222cba；最小数a是奇数，其余的两个数cb,是连续的正整数；最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和。由以上特点我们可猜想并说明这样一个结论：设x为大于1的奇数，将2x拆分为两个连续正整数之和，即)1(2yyx则北师版八年级上册《数学》第一章《勾股定理》授课者：陈小冰71,,yyx就构成一组简单的勾股数。因为)1(2yyx（x为大于1的奇数），所以22222)1(12)1(yyyyyyyx，所以1,,yyx是一组勾股数。（2）运用以上结论，当21a时，221220441212，所以221,220cb。4．给出一组式子：222222222222261024,17815,1068,543（1）你能发现关于上述式子中的一些规律吗？（2）请你运用所发现的规律，给出第5个式子；（3）请你证明你所发现的规律。解：（1）各组数的共同点是：各组数均满足222cba；偶数b的平方等于另外两个连续正整数的和的2倍。由以上特点我们可猜想并说明这样一个结论：设xa为大于等于3的数，则2xc，有244)]2([2b