第1章引言(16K)

-1-第1章引言§1.1连续体问题及其离散化求解在工程技术和物理学中，许多连续体问题（如弹性力学问题）都是以微分方程及施加于未知函数的边界条件的形式提出的，所有这类问题都可以用有限元素法来求解。这类问题的最一般的提法是，寻求未知函数u，使得它在某个“域”（体积、面积等）内（图1-1所示）满足某个微分方程组图1-1连续体问题的域及其边界0uuuA)()()(21AA（1-1）并在该域的边界上满足某些边界条件0uuuB)()()(21BB（1-2）这里，A、B是某种形式的微分算子，所求的未知函数可以是一个标量，也可以是若干变量组成的一个向量。类似地，微分方程可以是单个方程，也可以是联立方程组。连续体问题只有通过数学运算才能精确求解，在这里，可用的数学方法通常使这种求解限于过分简单的问题。为了克服实际的那类连续体问题的不易处理性，数学家和工程师们不时地提出了各种离散化方法，这些方法都包含着这样的一种近似：“当离散变量的数目增加时，它如所希望的那样逼近于真实的连续解”。在实现连续体问题的离散化上，数学家和工程师采用了不同的方法。数学家从连续体问题的微分方程出发，建立了可直接应用于这些方程的一般方法，像有限差分近似法，各种加权残值近似法，以及求适当定义的泛函的极值的近似方法。而工程师则是通过建立实际离散单元与连续区域的有限部分之间的模拟这种更直观的方法来处理连续体问题。“有限单元”一词的产生正是来自于这种工程的“直接模拟”的观点。有限元素法是一种近似解法，它寻求以下形式的近似解-2-NaaNuuiiri1~（1-3）式中iN是通过自变量（像坐标zyx,,等）给定的形状函数，它在有限元素法中起着重要作用；而参数ia的全部或一部分是未知量。决定未知参数ia所需的方程可以通过形如下面的积分表达形式来建立0d)~(d)~(uguG（1-4）式中G及g是已知的函数或算子。如果微分方程是线性的，即如果可以把式（1-1）和（1-2）写成0pLuA(u)，在内（1-5）0tMuB(u)，在上（1-6）式中L和M是线性微分算子。则积分表达式（1-4）将产生以下形式的线性方程组0fKa（1-7）这里meeijij1KK；meeii1ff（1-8）§1.2等价于微分方程的积分表达形式因为微分方程组（1-1）必须在域中的每个点处都成立，所以就有0d))()((d)(2211TuuuAvAvAv（1-9）式中v是一组任意的函数，其个数等于所涉及的方程（或u的分量）的个数。如果边界条件（1-2）也要同时得到满足，那么我们既可以通过选择函数u~来保证满足，也可以要求对任意的一组函数v有0d))()((d)(2211TuuuBvBvBv（1-10）事实上，积分表达形式0d)(d)(TTuBvuAv（1-11）对于一切v和v都满足就等价于微分方程（1-1）及边界条件（1-2）得到满足。在上面的讨论中，隐含地假设了像式（1-11）中那样的积分是能够计算出来的。这就对v、v或u所属的允许函数族加上了某些限制。一般来说，应避免采用使积分中任一项变成无限大的函数。因此，在式（1-11）中，我们限于v和v为有限单值函数，这对前述表达形式的成立没有限制。在函数,,21uu等上施加的限制，取决于算子)(uA（或)(uB）中所含的微分阶次，如果在)(uA或)(uB的任一项中出现n阶导数，那么函数,,21uu必须具有1n阶连续的导数（称为1nC连续性）。在许多情况下，可以对式（1-11）实行分部积分，并用另一种表达形式来代替它：0d)()(d)()(TTuFvEuDvC（1-12）其中算子C和F中所含导数的阶次比算子A和B中所含导数的阶次要低。这样做是以提高v和v的连续性为代价，降低了对函数u所要求的连续性阶次。表达形式（1-12）是比方程（1-1）、（1-2）或（1-11）所给出的原始问题更“容许的”，-3-称为这些方程的弱形式。往往这一弱形式比原始的微分方程在物理上更现实，因为，原始的微分方程对真实解提出了过高的“光滑性”要求。式（1-11）和（1-12）表达的积分形式形成了有限元素法的基础。对弹性固体力学问题，体积V内的微元体的平衡方程可以用对称的笛卡儿（Descartes，法国哲学家、数学家，1596-1690年）应力张量的分量写成000zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxbbbzσyτxτzτyσxτzτyτxσ（1-13）式中],,[Tzyxbbbb表示作用于单位体积上的力。在固体力学中，这六个应力分量是三个位移分量)],,(),,,(),,,([Tzyxuzyxuzyxuzyxu（1-14）的某个一般函数。因此，方程（1-13）可以看成是一般形式的方程（1-1），即0uA)(。对任意的一组函数uvδ：]δ,δ,δ[δTzyxuuuu（1-15）我们可以将积分表达式（1-9）写成VxxzxyxxxVbzτyτxσuV)(δ[d)(δTuAuVuuzyd)](δ)(δ（1-16）利用分部积分及格林公式，并引入虚应变以及边界上的应力平衡条件，可以将上式改写成0dδdδdδTTTVVVVVtubuσε（1-17）式中],,[Tzyxtttt（1-18）表示作用于固体表面的单位面积上的表面力。式（1-17）表达了弹性固体力学问题的虚功原理。可见，虚功原理正是平衡方程的弱形式，它对线性以及非线性应力-应变（或应力-应变率）关系都成立。对于固体力学问题，建立有限元素法的公式系统所必需的积分表达形式，可以通过（1-17）式表示的虚功原理给出。§1.3变分原理什么是变分原理？它们对于连续体问题的近似解有什么用处？“变分原理”是针对以下积分形式定义的标量（泛函）而言的：d),,,(d),,,(2222uuuEuuuFxxxx（1-19）式中u是未知函数，F和E是给定的算子。对于小变化的uδ，使取得驻值的函数u，就是连续体问题的解。因此，对于连续体问题的解，有变分为零，即0δ（1-20）-4-这就叫做变分原理。如果能够找到一个“变分原理”，那么就立即可以建立以适合于有限元分析的标准积分形式求得近似解的方法。设试探函数展开式取通常的形式：ni1~iiaNuu（1-21）式中ia为待定参数。将其代入（1-19）式，并取泛函的一阶变分为零，即0δδδδδ2211aannaaaaaa（1-22）上式应对任意的aδ均成立，于是得到方程组0anaaa21（1-23）由此可求出参数ia。因为的原始定义是借助于区域积分和边界积分给出的，这些方程具有有限元素法所必需的积分形式。如果泛函能事先确定下来，就能直接由式（1-23）规定的求导数而导出有限元素法的方程。如果泛函是“二次泛函”，即函数u及其导数以幂次不超过2的形式出现，则式（1-23）化为类似于式（1-7）的标准线性形式0fKaa（1-24）并且，可以证明，矩阵K此时总是对称的。可以看出，如果泛函是“二次的”，就有方程（1-24），泛函就可以写成faKaaTT21（1-25）进一步考察式（1-19）和（1-20），为了使泛函取驻值，经过某些微分运算之后，可以写出0d)(δd)(δδTTuBuuAu（1-26）因为上式必须对于任意的变分uδ都成立，则必有上在内在，，0B(u)0A(u)（1-27）如果0A(u)正好对应于控制该问题的微分方程，而0B(u)对应其边界条件，称这个原理为自然变分原理。方程（1-27）称为欧拉（Euler，瑞士数学家、物理学家，1707-1783年）方程，它对应要求取驻值的变分原理。容易证明，对于任一变分原理都可以建立相应的欧拉方程组。但反之不成立，即仅仅某些形式的微分方程是变分泛函的欧拉方程。对于式（1-17）表述的弹性固体力学问题的虚功原理，如果把εδ、uδ看成是实量的变-5-分（或微分），就可以写出虚功原理的另一种表达形式，即总位能原理：0)ddd)(~δ(δTTVVVUVVtubuε（1-28）式中U~为变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）。这意味着，为了保证弹性体的平衡，必须使总位能对于容许位移的变分取驻值。可以证明，在弹性情况下，总位能不仅是驻值，而且是极小值。有限元素法就是在假设的位移模型的约束下，寻求这种极小值。§1.4极大值、极小值或鞍点在变分原理中，都简单地假设在解点处0δ，或泛函取驻值。实际中，往往希望知道是取极大值、极小值或处于“鞍点”。如果涉及的是极大值或极小值，则近似解将总是“有界的”，即所给出的的近似值不是小于就是大于正确解。这本身就有实际意义。在初等微积分中，当考察单变量a的函数的驻点时，通过研究d随ad的变化率，并由二阶导数22d/da的符号决定是否为极大值、极小值或驻点（鞍点），如图1-2所示。类似地，在变分学中，我们将考察δ的变化。注意到式（1-21）所给出的δ的一般形式，其二阶变分可写为aKaaaaaδδ)δδδ(δ)δ)δδδ(()δ(δδTTT2（1-29）如果2δ总是为负（即0δ2），则显然达到极大值；如果2δ总是为正（0δ2），则达到极小值；但如果2δ的符号不确定（0δ2），则仅表明驻点的存在。因为aδ是任意向量，上述论断等价于要求矩阵K对于极大值为负定的，或对于极小值为正定的。因此，矩阵K的形式在变分问题中是十分重要的。§1.5修正变分原理，拉格朗日乘子除了自然变分原理外，还有另一类变分原理，人们称之为“人造（或修正）”变分原理。对于任何可用微分方程描述的问题，总是能够建立这种人造变分原理，其办法是用称为拉格朗日（Lagrange，法国著名数学家、力学家，1736-1814年）乘子的附加变量扩大未知函数的数目。现在考察在未知函数u服从某组附加微分关系0uC)(，在内（1-30）的条件下，使泛函取驻值的问题。应用拉格朗日乘子将约束条件引入泛函的表达式中，形成另一个泛函d)(T*uCλ（1-31）式中λ是定义在域内的独立坐标的某组未知函数，称为拉格朗日乘子。新泛函*中参予变分的独立变量是u和λ，其变分为d)(δd)(δδδTT*uCλuCλ（1-32）图1-2单变量函数的极大值、极小值及鞍点-6-只要0uC)(（因此0Cδ），并同时0δ，新泛函的变分就为零。可以用类似的方式在域内的某些点或边界上引进约束。例如，要求未知函数u服从0uE)(，在上（1-33）就要在原来的泛函中增加一项：d)(TuEλ（1-34）式中λ现在是定义在上的未知函数。如果约束C是施加在域内的一点或某些点处，则只要把这些点处的)(TuCλ加到泛函中就引进了约束。因此，总是能够引进附加函数λ，并修正泛函以包含任意给定的约束，这是显然的。对于新的泛函，在“离散化”求解过程中，必须对未知函数u和λ同时进行离散。例如，写出NaaNuii~，bNbNλ~~~ii（1-35）并且将得到方程组0bac，bac（1-36）由此可解得两组参数a和b。与原来的问题相比，“约束”问题导致较多的未知参数，并使求解复杂化，这表面上看来有些不合理。但是，以后将看到拉格朗日乘子在建立某些物理变分原理中的实际应用，在那里，拉格朗日乘子将得到明确的物理意义