第1章数字电子基础知识

1第一章数字电子基础知识内容提要：1.数制和码制、数制之间的转换2.逻辑代数的公式和定理3.逻辑函数的表示方法——真值表、函数式、逻辑图、卡诺图4.逻辑函数的两种标准形式及最小项和最大项5.逻辑函数的化简——公式法和卡诺图教学大纲基本要求：熟练掌握以下内容：1.二进制数、十进制数、八进制和十六进制数之间的转换；2.8421BCD码3.逻辑函数的基本定律和定理4.逻辑问题的描述方法5.逻辑函数的化简与变换重点与考点：1.各种常用数制之间的转换（常见考点）；2.逻辑代数中的基本公式、常用公式、基本定理和基本定律；3.逻辑函数的四种表示方法及其相互转换；4.最大项和最小项的概念及关系；5.逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法，重点是5变量以下的卡诺图化简，包括任意项的逻辑函数的化简。难点：1.多变量逻辑函数的公式化简；2.多输出逻辑函数的简化。教学内容：一、逻辑代数与基本逻辑函数逻辑代数即是应用于二值逻辑电路中的布尔代数。其特点：一是它的所有变量与函数值仅有两个特征值0和1，具有排中性，它们所表示的是一对互为相反的差异，它的公式、规则、定理和定义均用二值逻辑的因果关系来理解。二是逻2辑代数只有三种基本运算，即与、或、非，对应的即是逻辑与、逻辑或、逻辑非，利用这些逻辑运算则可得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或等，用来实现这些基本逻辑运算和复合逻辑运算的单元电路统称为门电路，其逻辑符号、逻辑函数式、输入输出真值表及基本运算规则如下所示二、逻辑代数的基本公式与定理（1）逻辑代数的基本公式又称为布尔恒等式，在二至逻辑中，这些公式反映了二值逻辑的基本思想，体现了逻辑代数的运算规律，是逻辑运算的重要工具，逻辑代数的基本公式如表2所示：表2逻辑代数的基本公式（2）逻辑代数的常用公式18、AABA吸收法在一个与或表达式中，一项包含了另一项，则该项多余19、BABAA消因子法两个乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则该因子是多余的20、ABAAB并项法两个乘积项相加时，若两项中除去一个变量相反外，其余都相同，则可用相同的变量代替这两项21、CAABBCCAAB消项法若两个乘积项中分别包含了A和A反两个因子，而这两项的其余的因子组成第三项时，则第三项是多余的。22、CABACAAB求反函数法（3）逻辑代数的基本定理1、代入定理：任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现变量A的位置都代之以另外一个逻辑等式，则等式仍成立。2、对偶定理：对于任何一个逻辑函数式Y，若将其中的“.”变“+”，“+”变“.”，1变0，0变1，则得出一个新的式子Y，Y为Y的对偶式。“四变一不变”3、反演定理：对于任意一个式子Y，将其中的“.”变“+”，“+”变“.”，13变0，0变1，原变量变反变量，反变量变原变量，得出的新函数式是原函数的反函数。“六变二不变”对于反演定理的应用要特别注意：①保持原函数的运算优先顺序。②不属于同一个变量上的非不能去掉。三、逻辑函数及其化简常用的方法：公式法和卡诺图法。一些重要的概念：最小项、最大项和卡诺图①最小项：在n个变量的逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则这些与项称为n个变量的最小项记为im。最小项的性质：n个变量有2n个最小项每个最小项等于1的机会只有一次；任意两个最小项的积为0；全体最小项的和为1；只有一个变量不同的两个最小项，可以合并成一项（去掉不同变量而保持相同变量）。②最大项：n变量的最大项就是n个变量的和，而且每个变量都以原变量或反变量的形式在这个和项中出现一次，且仅出现一次。最大项的性质：n个变量有2n个最大项；（n个变量有2n个最小项）n2最大项等于0的机会只有一次；（最小项等于1的机会只有一次）全体最大项的积为0；（全体最小项的和为1）任何两个最大项的和为1；（任意两个最小项的积为0）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和；（只有一个变量不同的两个最小项可以合并为一项，消去不同的变量）最小项和最大项的关系：iimM4③卡诺图：把n变量的全部最小项用n个小方格表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫n变量的卡诺图。（3、4变量的卡诺图画法要熟练）卡诺图是特点：几何位置相邻的最小项在逻辑上都具有相邻性几何相邻：相接—紧挨着；相对—任一行或任一列的两头；相重—对折起来位置重合的。④具有无关项的逻辑函数的化简：任何一个n个变量的逻辑函数总可以用m个最小项之和的形式来表示，若剩下的mn2个最小项使函数式的逻辑值为0，这就表明此函数式与其n2个最小项都有关。n2一个n变量的逻辑函数，有时并不是与它的n2个最小项都有关，而是只与其中的一部分有关，与另一部分则无关，这一部分无关的最小项并不决定函数的值，故称为无关项。mn2无关项的出现一般有两种情况，一是某些实际问题中，加在逻辑电路中的输入变量的某些取值不可能或不允许出现，这种对于输入变量取值所加的限制称为约束，所对应的最小项称为约束项。二是输入变量的某些取值的出现不会影响逻辑函数的有效取值，通常把这些输入变量的取值所对应的最小项称为任意项或随意项。约束项和任意项称为无关最小项，可以填入卡诺图中并可随意视为0或1参与化简，而使函数式化简为最简形式，并不会影响该逻辑函数的实际功能。四、数制之间的转换及码制五、考点及常见题型分析：例1．（158.828125）10＝（10011110.0110101）2解：十进制数转换为N进制数的方法是：整数部分连续除基数N，至商为0，取余数逆序排列；小数部分连续乘基数N，取整数顺序排列。例2．（10011110.110101）2＝（158.828125）10解：任意进制数转换成十进制数可用权展开式法——具体来说是：见1加其权。例3．（10011110.110101）2＝（236.65）8＝（9E.D4）165解：用分组法可将二进制数转换为2n进制数——以小数点为界，向左右n位分一组，左右端不够可以补0。注意：有的教材二、八、十六进制分别用下标B、O、H表示。例5．4个不同进制的数376.125D、576.1O、110000000B、17A.2H，按大小排列的次序是（）＞（）＞（）＞（）。（浙江大学1989年）解：二进制数110000000B＝180H八进制数576.1Q＝101111110.001B=17E.2H十进制数376.125D＝178.2H十六进制数17A.2H得：180H＞17E.2H＞17A.2＞178.2H所以排列次序如下：110000000B＞576.1Q＞17A.2H＞376.125D课堂练习：1.10010＝（1100100）2＝（144）82.0.851562510＝（0.1101101）2＝（0.DA）163.110101112=(215)10=(D7)16例4．试判断一个8位二进制数A=A7A6A5A4A3A2A1A0所对应的十进制数能否被810整除（华中理工大学1999）。解：首先将二进制数A转换成十进制数，然后除以810，若余数为0，则能被810整除。设二进制数A对应的十进制数为D，利用权展开式法，得)222(2)2222(2222222200112233142536470011223344556677AAAAAAAAAAAAAAAAD由上式可见，前5项都含有23，因此可以被8整除；后3项之和为0——7，所以，只有后3项为0，数D方可被8整除。32108例5．将十进制数0.85937转换成二进制小数，要求截断误差不能大于0.02。解：考查小数点后取几位。因为2－6＝0.0156250.02，所以小数点后取5位即可满足。0.8593710＝0.110112例6．用8421BCD码表示十六进制数B7E16。解：首先把十六进制数转换成十进制数，然后表示之。B7E16＝10012294216141671611＝0010100101000010BCD6BCDEB000011001010010129421614167161171001216例7．一个15位的二进制数最大可表示多大的十进制数？一个5位的十进制数最多需要几位二进制数表示？解：15位二进制数的最大值：215－1＝3276710，即最大可表示5位的十进制数。一个5位的十进制数最大值为9999910，101713107112因此216－1=65535109999910217-1=13107110故5位的十进制数需17位二进制数来表示。例8．判断①一个二进制数的低2位为0，则该数可被4整除。（√）③一个二进制数的低4位为0，则该数是16的整数倍。（√）④一个十六进制数，只有最低位数为0时，则该数才是8的整数倍。（×）（最低位数为8时，也是8的整除倍。）例9．已知函数)14,12,10,8,2,0(),,,(1mDCBAFY)15,13,11,5,4,2,1,0(),,,(2mDCBAFY用卡诺图求函数运算)(21YY⊙)(21YY的值（上海大学2000）解：画出两个函数的卡诺图，然后求)(21YY然后求)(21YY，最后求出。答案是：Y=A+D+B例10．若)()(ACBCABCBAABCF请直接写出：F的对偶式和反函数（南邮2000）解：]))()(()[(]))()(()[(CACBBACBACBAFCACBBAABCCBAF例11．函数)(EDCBAF的反函数为（B）（国防科大1999）A.)(EDCBAB.)(EDCBAC.)(EDCBAD．EDCBA例12．若已知zxyzyyzxy判断等式成立的最简单方法是依据以下（）。（北7邮1997）A.代入规则B.对偶规则C.反演规则D.互补规则例13．用基本公式和定理证明下列等式：①DBADABDBA（反演律的应用）②)(BA⊙ABAB)(证：左＝)(BABA⊙)(AB)(BA⊙)(AB+)(BA⊙)(AB=ABBAABBABABAABBA))(())((=ABBABAAB)(例14．函数ACBCABF的最简与或非式为（）解：ACBCABF＝ACBCABBCAB＝ACCABBCAACCBABBCBA)()(画该函数卡诺图，然后圈0画简，得函数Y的反函数，进而求出函数Y的最简与或非式。CBBACAY注意：从卡诺图圈0化简，可得到函数的最简与或非式。例15．设Y1=)12,8,4,0(m，Y2＝)11,9,7,4,1(m则L1＝Y1Y2＝（4m），L2＝)(128021mmmYY例16．以下说法正确的是：d（北邮1997）a.一个逻辑函数的全部最小项之和恒等于0。b.一个逻辑函数的全部最大项之和恒等于0。c.一个逻辑函数的全部最小项之积恒等于1。d.一个逻辑函数的全部最大项之积恒等于0。例17．利用卡诺图化简函数),,,,,,(131197632MMMMMMMMF，并用或与表达式表示。解：),,,,,,,(1311976321MMMMMMMMMF＝)15,14,12,10,8,5,4,0(m最小项与最大项的关系8画卡诺图：然后求出其反函数，由反函数得F的与或非表达式，然后根据反演律变成与非—与非式，最后求得或与表达式。由卡诺图圈0得：DBDCACAF由上式得函数的与或非表达式：DCADBCAF最后写出其或与表达式：))()((DCADBCAF例18．用图形法化简函数为最简与或式：(北理1999)DCBDCBBDACBADCBAF),,,(约束条件为：0ABCCDBCBA解：画卡诺图：直接写最简与或式：ACBDCABAF六、本章练习题：1.和8421BCD码（1010100）等值的二进制数