第1章概率论基础知识

第1章概率论基础知识《管理统计学》1.1随机实验、样本空间、概率与条件概率1.1.1一些基本概念1随机实验（Randomtrial,orRandomexperiment）（1）在同一条件下可以无限次重复的实验；（2）实验结果有多个，且不确定；（3）事前不知道实验结果。抛掷硬币掷骰子2基本事件一次随机实验的可能结果，称为基本事件或基本随机事件。3样本空间所有基本事件组成的集合，称为样本空间或基本空间。4随机事件随机事件简称事件，是指基本事件的集合。5相容事件与不相容事件在一次随机实验中不可能同时发生的事件，称为不相容事件，反之称为相容事件。6.概率（Probability）用通俗的语言说，概率指在随机实验中，对事件出现的可能性大小的一种严格的度量。这里的严格是指，从无限次重复的角度看，度量的结果具有唯一性。概率的定义：设E是随机实验，S是其样本空间，对E的每一个事件A，赋一个实数P(A)，若P(A)满足如下条件，则称为A的概率：（1）对每一事件A，都有0≤P(A)≤1；（2）P(S)=1；（3）对于两两互不相容的事件Ak(k=1,2,…),有Ak的并集的概率等于各个Ak的概率的和，即kkkkAPAPAPAAPAP)()()(21217概率运算的主要性质（1）设Ac是A的对立事件，则P(A)=1–P(Ac)明显地，若A=S为样本空间，则Ac=Ø为空集，于是可得P(Ø)=1–P(S)=1–1=0（2）对任意两个事件A与B，有其中AB是A与B的交集A∩B的缩写。)()()()(ABPBPAPBAPABS若A与B的交集为空集，即A与B是不相容事件，则)()()(BPAPBAP（3）若事件AB，即若A发生则B必然发生，那么)()(BPAP8等概率随机实验若一个随机实验的基本事件的个数有限，且基本事件出现的概率相等，则该随机实验称为等概率随机实验或等可能概型。抛掷硬币，抛掷骰子在等概率随机实验中，事件A的概率计算公式为P(A)=A包含的基本事件个数/该实验中基本事件的总个数例如考虑随机实验E：先后抛掷2枚均匀硬币样本空间S={“正，正”，“反，正”，“正，反”，“反，反”}，现在考虑事件A“至少有1枚正面朝上”，则A={“正，正”，“正，反”，“反，正”}。因此P(A)=¾.1.1.2条件概率与概率乘法公式1条件概率例1.1.1一个包装箱里有6件产品。假设其中有4件是一级品，2件为二级品。若随机实验E是“从包装箱中随机抽取1件产品”，则明显地，抽到二级品的概率是1/3。若事件A是“第一次抽取并抽到二级品”，事件B是“第二次抽取并抽到二级品”，那么在事件A发生的条件下，再从剩下的5件产品中抽取1件，事件B发生即“第二次抽到二级品”的概率就是1/5。我们称这样的概率为“事件A发生的条件下，事件B发生的概率”，简称为“事件B的条件概率”，记为P{B|A}.本例中P{B|A}=1/5。为对比条件概率与非条件概率的区别，现在来看上例中P(B)等于多少？由于B指的是“第二次抽到二级品”的事件，而这时A可能发生，也可能不发生（即A的对立事件Ac发生）。这样事件B就可以表示成：B=AB+AcB。注意到AB与AcB是互不相容的。因此3152645162)()()(BAPABPBPc注意到事件A的概率也是P(A)=1/3.于是有如下的表达式：0)(,513/115/1)()(}|{APAPABPABP通常将这一表达式作为条件概率的定义式。条件概率的定义对样本空间S的任意两个事件A、B，若P(A)0，则条件概率P{B|A}由如下定义式给出：)()(}|{APABPABP2.概率的乘法公式由条件概率公式可得)(}|{)(}|{)(BPBAPAPABPABP这就是所谓概率的乘法公式。概率的乘法公式对样本空间S的任意两个事件A、B，有：)(}|{)(}|{)(BPBAPAPABPABP注意：条件概率的本质是，事件A的出现，改变了产生事件B出现的条件，即改变了随机实验。事件A、B不一定有时间上的先后关系。例1.1.2某城市市民的肝炎患病率为0.01%，但在某验血指标为阳性的人群中，得肝炎的概率是90%。现在在该城市中任意抽取一个市民，该市民得肝炎的概率就是0.0001。若抽取的这个市民的验血指标为阳性，则该市民患肝炎的概率为0.9。若规定事件A为“抽取的是验血指标为阳性的市民”，事件B是“抽取的是肝炎患者”，那么P(B)=0.0001，P{B|A}=0.9。明显地，事件A改变了产生事件B的范围条件，本质上改变了样本空间，从而改变了随机实验。设R是验血指标为阳性的人口占该城市人口的比例。明显地，“总人口R0.9=0.00001总人口”。由此可以得到：R=0.00001/0.9=1/9000。现在的问题是若已知抽到的市民是肝炎患者，那么他验血指标为阳性的概率是多少？已知：P(B)=0.0001,P{B|A}=0.9,此外实际上P(A)=R=1/9000.其次，由概率乘法公式)(}|{)(}|{)(BPBAPAPABPABP因此)()(}|{}|{BPAPABPBAP于是1900090000001.09000/19.0)()(}|{}|{BPAPABPBAP1.1.3贝叶斯公式1.贝叶斯公式(Bayes’Rule)将条件概率定义式进行扩充，就可得到贝叶斯公式)(}|{)(}|{)(}|{)()(}|{ccAPABPAPABPAPABPBPABPBAP这里扩充的关键，在于上式的分母。贝叶斯公式用样本空间的一个划分A与Ac，把事件B划分为互不相交的BA与BAc，然后利用概率的性质，将P(B)展开成P(BA)+P(BAc).如果考虑样本空间S的更一般的划分，就可得到贝叶斯公式的一般形式。设A1,A2,…,An是样本空间的一个划分，即这些事件互不相容并且niiAS1那么任一事件A在事件B发生下的条件概率为0)(,)(}|{)(}|{)()(}|{1BPAPABPAPABPBPABPBAPniii这就是贝叶斯公式的一般形式。在应用中，通常人们以某种方式获得了事件A的概率P(A)，称为先验概率。而事件B出现后事件A的条件概率P{A|B}，称为后验概率，其意义就是事件B的出现“矫正”了事件A的概率。贝叶斯公式中出现的表达式也称为全概率公式。niiiAPABPBP1)(}|{)(1.1.4相互独立的随机事件的概率公式)()()()()()(}|{)()(}|{BPAPBPAPAPBPBAPAPABPABP1.相互独立的定义对任意两个事件A、B，其中P(B)0。若P{A|B}=P(A)，则称事件A与B相互独立。相互独立的直观意义是明显的：事件B无论发生与否对事件A的概率都没有影响。当也有P(A)0时，如果事件A与B相互独立，则事件B与A也相互独立。实际上2.相互独立事件的概率乘法公式从上面的讨论，还得到两个相互独立事件的概率乘法公式)()()(}|{)(BPAPBPBAPABP1.2随机变量与概率分布的基本概念1.2.1离散型随机变量1.随机变量（RandomVariable）是指表征随机实验结果的变量。定义对随机实验E，样本空间S={e}，若对S中的每一元素e（或对每一基本事件e），都有一个实数X(e)与它对应，X(e)就称为随机变量。2.离散型随机变量（DiscreteRandomVariable）只取有限个或可列个数值的随机变量。4.离散型随机变量的概率分布(ProbabilityDistribution)离散型随机变量的概率分布是指：离散型随机变量取遍每一个实验结果x（用数字表示实验结果）的概率分布情况。例一个箱子里有10只大小、材质都一样的小球，其中红色的2只，蓝色的5只，黄色的有3只。随机地从箱子中摸取小球。并用随机变量X表示摸取的结果，分别用x=1,2,3表示摸到的是红，蓝，黄色的小球。则随机变量X的概率分布为X123概率0.20.50.3概率00.10.20.30.40.50.61235.离散型随机变量的累积概率(CumulativeProbability)概率P(X≤x)称为随机变量X（小于或等于x）的累积概率。在上例中随机变量X≤2时的累积概率（即取得的球是红色与蓝色的概率之和）为P(X≤2)=0.7。6.离散随机变量的累积概率分布(CumulativeProbabilityDistribution)离散随机变量的累积概率分布是指：离散型随机变量小于或等于每一个可能的实验结果x（用数字表示）的概率P(X≤x)的分布情况。在前例中X的累积概率分布为：P(X≤1)=0.2,P(X≤2)=0.7,P(X≤3)=1离散随机变量的累积概率分布也常用图表的方式表示X的累积概率分布X123累积概率0.20.71累积概率00.20.40.60.811.2123累积概率00.20.40.60.811.2123累积概率1.2.2连续型随机变量1.连续型随机变量(ContinuousRandomVariable)的取值特点连续型随机变量的取值区域是一个连续区间。2.连续型随机变量的概率连续型随机变量只有在（连续）的区间上取值时，其概率才有可能为正值，而它取任何给定值的概率都为零。即若P(x1≤X≤x2)0,则必有x2x1。P(X=a)=0,对任何实数a都成立。3.连续型随机变量的累积概率(CumulativeProbability)概率P(X≤x)称为随机变量X（小于或等于x）的累积概率。注：连续随机变量的累积概率的表达方式与离散随机变量的累积表达方式一样。4.连续随机变量的累积概率分布(CumulativeProbabilityDistribution)连续随机变量的累积概率分布是指：连续型随机变量小于或等于每一个可能的实验结果x（用数字表示）的概率P(X≤x)的分布情况。5.连续型随机变量的（累积）概率分布函数(CumulativeProbabilityFunction)指对连续随机变量X，由其累积概率P(X≤x)定义的函数：)()(xXPxF1xF(x)6.连续随机变量的概率密度函数(ProbabilityDensityFunction)连续随机变量的概率密度函数是指满足如下条件的函数：0)(xf1)(dxxf)()(bxaPdxxfba最后的一个表达式表明，连续随机变量在区间(a,b]上取值的概率就等于位于概率密度函数曲线下方该区间上方的曲边梯形的面积。ab并且xdttfxF)()(