第1章物体运动的描述

第一章第一章物体运动的描述§1-1描述质点运动状态的物理量【基本内容】一、位置矢量r1、1、质点如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响，则可将物体看成一个具有质量的点。2、2、参照系为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参照系。3、3、位置矢量r如图1.1所示，从坐标原点O到运动质点P的有向线段OP称为质点P的位置矢量。OPrkzjyix运动方程质点的位置矢量与时间的函数关系。ktzjtyitxtr)()()()(轨迹方程运动方程消去时间参量t后，各坐标间的关系式，即由)()()(tzztyytxx消去t得轨迹方程f（x，y，z）=0。二、位移矢量r设t时刻，质点处于P点，位置矢量为)(tr。经时间Δt后于t+Δt时刻运动到P/点，位置矢量为)(ttr，则从初位置P到未位置P/的有向线段：)()(trttrr叫质点在ttt时间内的位移，如图1.2。它描述质点位置的变化。说明：（1）r与r的区别r——位移的大小，r——位矢长度的改变量。（2）位移r与路程S的区别路程S表示质点在ttt时间内越过的轨迹，即曲线/PP的长度。r是矢量，S0图1.5题解例1-1图图1.1v(t+t)图1.2图1.3v(t+t)图1.4/Sv(t)vv(t)vn图1-3图1.6图1.7例1-6图L南xr0RSyrrr/000x(x)0///y/yP450u0Vx东北yhS图V0r(t+t)0x图1.1rPy图1.2r(t+t)/z是标量，且Sr当0t时，dsrd,但rddr三、速度1、平均速度v定义：质点在ttt时间内的位移r与时间t的比值，叫质点的平均速度：trv其方向与r的方向相同，如图1.3。平均速率v：质点在ttt时间内的位移s与时间t的比值，叫质点的平均速率：tsv2、速度v定义：0t时的平均速度。trvtlim0dtrd方向：沿轨迹切线且指向质点前进的方向。一般dtdsdtrdv，但trv在直角坐系下的表示kvjvivkdtdzjdtdyidtdxvzyx四、加速度a1、平均加速度a设t时刻，质点的速度为)(tv。经时间Δt后于t+Δt时刻质点的速度为)(ttv，则质点的速度增量)()(tvttvv与时间间隔Δt的比值，叫质点的平均加速度。tva2、加速度a定义：0t时的平均加速度。tvatlim022dtrddtvd大小：dtvda，方向：是0t时，v的方向，指向曲线凹侧。在直角坐标系下的表示jaiajdtdvidtdvayxyx大小：22yxaaa方向：与X轴的夹角xyaatg【典型例题】【例1-1】一质点的运动方程为jtitr)219(22，求：图1.2图1.4r(t+t)/Svnv(t)vv(t+t)v(t)v(t+t)图1.3（1）（1）轨道方程并画出其轨道；（2）（2）st1及st2时质点的速度和加速度；（3）（3）第2秒内质点的平均速度；（4）（4）何时质点离坐标原点最近？并求出这个距离。【解】（1）运动方程的分量形式为22192tytx去时间t后可得轨迹方程消2192xy于0t，所以x不能取负值。轨道如题解例1-1图所由示。（2）由速度的公式：jtidtrdv42代入st1和st2，其速度分别为)/(42smji和)/(82smji由加速度的公式：)/(42smjdtvda（3）第2秒内的位移：)1()2(trtrrji62平均速度：)/(62smjitrv（3）（3）质点离原点距离：)219(42222ttyxr令0dtdr可解出)(3),(3,0321ststt（舍去）)(37)3(),(19)0(mtrmtr故在st3时质点离原点最近：)(37minmr【讨论】（1）作图时，应在图上标明特殊位置的坐标值。如本题标明图线与横坐标和纵坐标的交点值。（2）0dtdr表示质点的径向速度为0，它实际上是速度由正变负（或者由负变正）的转折值，因此此时所对应的r值应该是局部最大或最小。在数学中，为确定是极大值还是极小值，需进一步求二阶导数。此题中，已经确定必无极大值，故将“驻点”代入比较就可求出极小值。【分类习题】【1-1】对于质点，下列表述正确的是：（1）（1）加速度恒定不变时，运动方向不变。题解例1-1图v(t+t)图1.1图1.2v(t+t)图1.3r(t+t)/v(t)v(t)S南L图1.4图1.6图1.5例1-6图图1.7vn0xR0rSvy北r45x(x)00r00/u/0r//V0x东Pyy/y图1-3V0h图S（2）（2）平均速度的大小等于平均速率。（3）（3）平均速率表达式可写我为221vv（21vv、分别表示始末时刻的速率）。（4）（4）速度不变时，速率不变。【1-2】一人自原点出发，s25内向东走m30，又s10内向南走m10，再s15内向正西北走m18。求在这s50内：（1）（1）平均速度的的大小和方向（2）（2）平均速率。【1-3】一质点的位置矢量为)(22SIjbtiatr（ba、为常量）。则该质点作（填匀速、变速）（填直线、曲线）运动。【1-4】质点运动方程为)(5sin105cos10SIjtitr，求（1）（1）此质点的轨迹方程；（2）t时刻质点的速度和加速度。【1-5】在质点运动中，已知bybkedtdyaextktkt0,,。求质点的加速度和它的轨道方程。§1-2、直线运动【基本内容】一、直线运动的分类=0匀速直线运动a与v同向——匀加速直线运动a=c匀变速直线运动a与v反向——匀减速直线运动≠c非匀变速直线运动二、运动图线表示质点在运动过程中，位置、速度随时间的变化关系。1、位置——时间图线（x—t图）速度：由曲线的斜率表示。平均速度：由曲线中相应割线的斜率表示。2、速度——时间图线（v—t图）由v—t图求a：由曲线的斜率求出。由v—t图求位移：v—t图线与t1、t2两纵坐标之间的面积。【典型例题】【例1-2】有一小球沿斜面向上滚动，小球离开初位置向上滚动的距离与时间t的关系为)(93SItts，求：（1）（1）初速度0v；（2）（2）小球何时开始下滚；（3）（3）在s50内的位移和路程。【解】（1）由239/tdtdsv代入0t得小球的初速度为)/(90smv（2）小球开始返回时，即运动方向的转折点，对应速度为00/dtdsv即0392t所以小球开始下滚的时间为st73.1（3）s50内的位移mssrtt8005由于在st73.1时速度方向改变，因此s50内的路程应为s73.10和ss573.1两段时间内位移大小之和：mssssstttt8.100)()(073.1073.1小结：本题中，速度0v表示速度方向的转折点，从而求得了小球返回处的时间。【例1-3】一质点在x轴上作加速运动，开始时00,vvxx。（1）ckta，求任意时刻t的速度和位置，其中ck,均为常量；（2）kva，求任意时刻t的速度和位置，其中k均为常量；（3）kxa，求任意位置x的速度其中k均为常量。【解】（1）由加速度的定义式dtdva得dtcktadtdv)(两边积分，并代入初始条件得：20021)(0ktctvvdtcktdvtvv由速度的定义式dtdxv得：dtktctvvdtdx)21(20两边积分，并代入初始条件得：6121)21(32000200ktcttvxxdtktctvdxtxx（2）（2）由kvdtdva可得kdtvdv两边积分：tvvkdtvdv00ktevv0再由dtdxv/可得dtevvdtdxkt0两边积分：)1(00000kttktxxekvxxdtevdx（3）由于dxdvvdtdxdxdvdtdva，于是xxvvkxdxvdvadxvdv00两边积分有：)(202202xxkvv,故)(20220xxkvv【讨论】（1）由于是一维运动，不必写出矢量形式，因为可以视直线运动为复杂运动中的一个分运动。（2）常见错误：不管加速度的形式，盲目使用中学的匀变速直线运动的三个公式。综合上面两例题：运动学的习题有两种基本类型：（1）已知运动方程，求速度、加速度、位移及轨迹方程；（2）已知加速度，求速度、运动方程。前者用微分法，后者用积分法。注意积分时应正确运用初始条件。【例1-4】在离水面高为h的岸边上，有人以匀速v0拉船靠岸（例1-4图）。求船距岸边s处时，船的速度和加速度。【解】以O为坐标原点，指向船的方向为x轴正方向建立坐标系。由勾股定理有222lhs两边对时间求导，得dtdlldtdsx明显，船速dtdsu，绳子速率dtdlv0，故022vsshdtdsslu式中负号表示船的速度方向与x0方向相反。加速度0221222122)(2)(21vsdtdsshsdtdxsshdtdua2032vsh【讨论】这类题看似无从下手，但某时刻三边构成明显的几何关系（本题是勾股定理），对等式两边求导就求出了速度间的关系，于是，路子就通了。说明：对一边求导时，要求只有一端运动，另一端静止，此时求导所对应的速度才为移动端的速度。【分类习题】【1-6】一小球沿斜面向上运动，其运动方程为245tts)(SI，则t时小球达到最高点。【1-7】一质点运动方程为)(62SIttx，求t由0至s4内，质点位移和所经历的路程。【1-8】两车A与B同时出发，沿直线作同向运动，其行使距离随时间变化关系分别为)(42SIttxA和)(3232SIttxB。则刚出发时运动在前的是；出发后，t时两车行驶相同的距离；出发后，t时两车等速。【1-9】一质点作直线运动，其运动规律为tkvdtdv2/(k为常量），当0t时图1-3xhSV0Ox例图0vv，求t时刻的速度v。【1-10】一质点沿ox轴运动，其加速度与时间的关系为)(23SIta，如质点的初速度为sm/5，求st3时质点的速度。【1-11】一质点沿ox轴运动，其tv图如（图1-11）所示。如0t时质点位于原点，则st5.4时质点在x轴上的位置。【1-12】一质点沿直线运动，其tx图如图1-12。则该质点第秒的瞬时速度为0，第秒至之间速度与加速度同向。（提示：分析曲线切线斜率的增量）。【1-13】灯距地的高度为1h，身高为2h的人在灯下以匀速v沿水平直线行走（图1-13），求他头顶影子M点沿地面移动的速度。提示：建立坐标系，找出M点所遵守的几何关系，再由速度的定义通过求导而得【1-14】距河岸（看成直线）D处有一艘静止的船，船上的探照灯以匀角速度旋转照射河岸，求当光束与岸边成角时，光沿岸边移动的速度。§1-3曲线运动【基本内容】一、曲线运动1、自然坐标系研究曲线运动时，把坐标原点取在运动质点上，该点处的切线与法线构成正交坐标轴，如图1.4。切线坐标轴正方向：规定为质点前进的方向，其单位矢量为。法线坐标轴正方向n：规定为指向曲线凹侧的方向，其单位矢量为n。显然：和n是随时间变化的。2、位置的自然坐标表示设质点沿曲线L运动，t=0时，位于P0点，t时刻位于P点。则在时间t内，质点运动的路程（弧长）能确定质点的位置)(tss3、速度的自然坐标表示题解例1-1图v(