第1章行列式自测题(答案)

第1页共10页内容提要：一、行列式的定义1、2阶和3阶行列式2112221122211211aaaaaaaaD312312322113332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa322311332112312213aaaaaaaaa2、排列与逆序定义由n,,3,2,1组成的一个有序数组称为一个n阶排列．3、n阶行列式定义定义称nnnpppnppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaaD21212121)(212222111211)1()det(ija为n阶行列式，记作D或nD．也记作)det(ija．4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。二、行列式的性质性质1DD．性质2互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号．推论若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零．性质3行列式某行（列）的各元素乘以k，等于用数k乘以行列式．推论行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘．推论若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．第2页共10页性质4nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaaaaaaaaaaaaaaaaa21211121121211121121221111211性质5将行列式的某行（或列）各元素乘以数k加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变．三、行列式的展开定理定义在nD中划掉ija所在的行和列（即第i行和第j列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1n）阶行列式，称为ija的余子式，记作ijM．ijjiijMA)1(——ija的代数余子式定理1ininiiiiAaAaAaD2211（ni,,2,1）按第i行展开或niniiiiiAaAaAaD2211（ni,,2,1）按第i列展开推论02211jninjijiAaAaAa（ji）或02211njnijijiAaAaAa（ji）四、Cramer规则nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）定理当0D时，方程组（1）有唯一解DDx11，DDx22，……，DDxnn．第3页共10页推论齐次线性方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(01x,02x,……，0nx显然是方程组的解，称为零解)1）0D仅有零解．2）有非零解0D．第4页共10页《线性代数》单元自测题答案第一章行列式一、填空题：1．设jiaaaaa54435231是五阶行列式中带有负号的项，则i=________；j=_________。分析2,1ji或者1,2ji。当2,1ji时，5244352311524435231145244352311)13542()1()1(aaaaaaaaaaaaaaa。当1,2ji时，5144352312514435231255144352312)23541()1()1(aaaaaaaaaaaaaaa。2．在四阶行列式中，带正号且包含因子23a和31a的项为_______。分析同时包含23a和31a的项有4431231244312312244312312)2314()1()1(aaaaaaaaaaaa。和4231231442312314542312314)4312()1()1(aaaaaaaaaaaa。作业：第6页，习题1.1，2．写出四阶行列式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa中同时包含12a和31a的项。解4431231244312312244312312)2314()1()1(aaaaaaaaaaaa和4331241243312412343312412)2413()1()1(aaaaaaaaaaaa。3．在五阶行列式中，项2543543112aaaaa的符号应取__________。分析54433125122543543112aaaaaaaaaa，所以，1)1()1(4)25134(。第5页共10页4．已知xxxxxxf42124011123313)(，则)(xf中4x的系数为____。分析含4x的项为4144322311)1324(2)2()()1()1(xxxxxaaaa。所以，4x的系数为2。5．行列式600300301395200199204100103__________。分析031521413100100030015200141003260030030139520019920410010322321ccccc20005548)1(110000155148310031312cc。二、计算下列各题：1．计算63123112115234231D。解2170555011704231223141312rrrrrrD217555100217555117)1(13111rr301755)1(131。第6页共10页2.设4321630211118751D，求44434241AAAA的值。解将D按第4行展开：444342414321AAAAD。将D的第4行元素分别换为1，1，1，1，则44434241AAAA01111630211118751.解法二0444342414424432342224121AAAAAaAaAaAa。作业，第20页，习题1.32．已知pcbapcbapcbapcbaD4443332221114，求.41312111AAAA解将4D按第1列展开：.4143132121114AaAaAaAaD将4D的第1列的元素分别换成1，1，1，1，则.011114433221141312111pcbpcbpcbpcbAAAA第7页共10页3.计算4443332225432543254325432D。解3333222211114321543154315431111154325432ccccD（由范德蒙行列式）5760453534151413120）（）（）（）（）（）（.作业，第20页，习题1.31（6）3333222243244433322243214321432111114324324321432143214321cccD（由范德蒙行列式）.28834242314131224）（）（）（）（）（）（4.计算abbaababaDn0000000000000000解将行列式按第1列展开：111110000000000)1(0000000000)1(nnnnbabbabbabaabaaDnnnnnnbabbaa1111)1()1(。第8页共10页作业，第13页，习题1.28．baaaaaann2121100010001222212122111000100010001nnnnnaaabaaarararar.22221naaab5．计算1111121111211112nD。解111312131123111321nnnncccDnn300003000030111311312nrrrrrrn1)3(]3[nn.第9页共10页作业，第12页，习题1.22．.11100001000010333112331132311332113331123333233332333321413124321rrrrrrcccc6．.6133303330010000243333333001000024333333333233331343231ccrrrr第19页，习题1.3，1（3）11111111111111111111111114321cccc100212221)1)(1(100021202210111111141312rrrrrr]4)1[()1(1221)1()1(22332).3()1()32()1(3226.设齐次线性方程组0)12(02)12(02)1(3213213221xkkxkxxxkxxxkx有非零解，求k的值。解因为方程组有非零解，所以其系数行列式为零，即12111)1(11012101121221212112332132kkkkkkcckkkkk0)2(22kkkk，从而得0k或2k.第10页共10页作业，第24页，习题1.42．当为何值时，齐次线性方程组0200321321321xxxxxxxxx有非零解？解因为方程组有非零解，所以其系数行列式为零，即.0)2)(1(211)1()1(2111101021111112121rr从而得1或2.