第1章量子论基础

1第一章量子论基础§1.1经典物理学的困难19世纪末20世纪初，经典物理学，主要是经典力学、热力学和经典统计物理学、经典电动力学，已经发展得相当完善。比方说，速度远小于光速的物体的机械运动遵从牛顿力学规律;电磁现象满足麦克斯韦方程组;光的现象满足光的波动理论;特别是当时已认识到热辐射和光辐射都是电磁波，还提出了热辐射满足的基尔霍夫（Kirchhoff）定律和斯式藩（Stefan）定律-玻耳兹曼（Boltzmann），证实黑体辐射场的能量密度与温度的四次方成正比。对于热现象，除了已经有了非常系统的热力学理论外，还有玻耳兹曼、吉布斯（Gibbs）等人提出的统计物理学。经典物理学的大厦已经建立得相当完美了。但是，在和实验进一步对比的过程中，也出现了一些困难，而且这些困难，在经典物理的范畴内是无法解释的。这主要表现在:1.黑体辐射.任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。一般地，物体只吸收投射到它表面上的部分能量，吸收系数小于1。如果一个物体，能吸收投射到它表面上的全部辐射，即其吸收系数为1时，则称这个物体为绝对黑休，简称黑体。一个开有一个小孔的空腔可近似视为黑体。因为一旦光线通过小孔射入空腔后，就很难再通过小孔反射出来。另一方面，由于腔壁具有一定温度，它还会发出热辐射。当空腔和内部的热辐射达到平衡后，实验发现，在频率d之间的辐射能量密度只与频率和热力学温度T有关，在不同度下,ρν随ν的变化曲线如图1.1.1所示。实验曲线存在维恩（Wien）位移:辐射能量密度按波长分布的最大值m与T的乘积为常数:KmTm2102898.0（1.1.1）而且满足04aTdE（1.1.2）其中a是常数。1983年，维恩利用经典热力学和电动力学给出了辐射能量密度的经验公式是deCdTC231（1.1.3）（1.1.3）式称为维恩公式，式中c，.C，是经验参数。与实验结果比较后发现，维恩公式只适用于高频区。1899年，瑞利（Rayleigh）和金斯（Jeans）利用经典统计物理学和电磁理论，推导出公式2dkTcd238（1.1.4）（1.1.4）式称为瑞利-金斯公式，式中k是玻耳兹曼常数，c是光速。它只在低频区与实验相符。在高频区，当时，而且能量密度发散，这个结果称为紫外灾难。2.光电效应1888年，赫兹（Hertz）在验证电磁波存在的实验中，发现当用紫外光照到火花隙的负极上时，放电比较容易发生。1897年汤姆孙（J.J.Thornson）通过气体放电和阴极射线的研究发现电子后，人们逐渐认识到这种现象是由于紫外光照射到金属表面上，金属中的电子吸收了光的能量而从金属表面逸出所至。这种逸出的电子称为光电子。对于表面光洁的金属材料，光电效应的实验结果是:（i）存在临界频率o，当入射光的频率0时，无论光的强度多大，都无光电子逸出。只有在0时，无论光的强度多大，都无光电子逸出。只要光照到金属表面上，几乎在10-9的极短时间内，就能观测到光电子。（ii）出射的光电子的能量只与入射光的频率ν有关，而与入射光的强度无关。（iii）人射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积上逸出的光电子的数目。显然，这些实验结果，特别是（i）和（ii），无法用经典电磁理论、解释。因为按经典电动力学，光是电磁波。电磁波的能量决定于它的强度，即只与电磁波的振幅有关，而与电磁波的频率无关。而要释放光电子，显然需要有足够的能量。3.原子的线状光谱1885年，巴耳末（Bermer））通过对氢的光谱线分析研究后，发现氢原子可见光的光谱线满足经验公式221211~nRH（n=3,4,5...）（1.1.6）石为波长的倒数，称为波数。RH称为里德伯（Rydberg）常数，数值上等于109677.581cm-1。以后又陆续发现了其他线系,1889年，里德伯把氢的所有谱线归纳为一个里德伯方程，即nTnTnnRH22111~（1.1.7）式中，n=1,2,3，…;对于每一个n，有n=n+1,n+2,n+3...构成一个谱线系.T（n）称为光谱项。由（1.1.7）式可见，如果光谱中有频率为1和2的两条谱线，则也有频率为21及21的谱线。这个结果称为里兹（Ritz）的并合原则。原子的线状光谱用经典理论也是无法解释的。因为按卢瑟福模型，原子中电子绕原子核运动。3这是一种加速运动。但按经典电动力学，加速电荷应不断发出辐射。于是电子不断损失能量。而且，加速电荷发出的辐射的频率是连续分布的，不可能产生线状光谱。此外，按电动力学，若体系发出频率为ν的波，则它也可能发出频率为ν的整数倍的其他谐波。这个结论也与并合原则不符。4.原子的稳定性原子结构的卢瑟福模型在经典理论中是无法理解的。因为电子既然绕原子核运动，则在这一加速运动过程中，由于辐射能量，必然使电子绕核运动的轨道变小。最后“落到”原子核中去。也就是说，按经典理论，卢瑟福的原子模型是不稳定的。这种原子最后、必然坍缩成一团。但是现实世界中原子是稳定的。经典理论无法解释原子的稳定性。5.比热经典物理学的比热理论建立在能量均分定理的基础上。在和实验比较后发现，经典的比热理论存在着下列困难：（i）固体比热的杜隆-珀蒂（Dulong-Petit）定律RCCvp3（1.1.8）与温度T无关。这个结果只在常温下与实验相符。在极低温下，固体比热服从德拜（Debye）T3定律：（ii）不能解释为什么原子中处于束缚态的电子对比热的贡献可以略去。因为按原子模型，原子核外的电子在运动。而按能量均分定理，每个电子运动的平均动能为要kT23，相应的定容比热应为k23（iii）不能解释为什么绝大部分双原子分子，多原子分子在常温下振动自由度被冻结，对比热没有贡献。除了当时已出现的这些困难外，1923年发现的康普顿（Compton）效应，也不能用经典理论解释。实验发现，高频率的x射线被轻元素的电子散射后，散射波的波长随散射角的增大而增大。这个结果也无法用经典理论说明。因为散射过程只涉及入射光与电子之间的能量和动量交换，而按经典理论，电磁波的能量只与振幅有关，而与波长无关，能量、动量的交换不应导致波长的变化。对于经典物理学的这些困难，19世纪的许多有为的物理学家，其实是早有察觉，忧虑重重的。1859年，气体分子运动论的奠基人之一麦克斯韦，就明确指出了经典比热理论的困难。十年后他又重复强调了这个困难，并且指出这里存在着一些经典物理根本不可能解释的东西。以后，金斯等人又作过许多讨论。正是麦克斯韦等人的这些真知灼见，使得美国著名物理学家费曼（Feymann）得以有根据地说;“人们经常听说19世纪后期的物理学家认为，他们已经了解了所有有意义的物理规律，因而以后所能作的只是去计算更多的小数位。某个人可能这么说过一次，其他人就争相传抄。但是彻底查阅当时的文献表明，他们所有的人都是对某些问题忧虑重重的。”①正是因为当时这些有为的物理学家们，根本不像有些人所说的那样，躺倒在经典物理学的大厦里恬然自得，以为已经最后解决了一切物理学问题。恰恰相反，他们多年如一日地深入思考着经典物理学的困难，不固步自封，勇于进取，寻找解决这些困难的途径，提出各种新的物理概念和方法，这才会有量子论，继而4有量子力学的出现，使人们的视野真正深入到原子世界中去。§1.2光量子和普朗克一爱因斯坦关系深入考察一下经典物理学的许多困难后会发现，这些困难都来自以往经典电动力学中，电磁波的能量只与振幅有关与频率无关，而且能量连续变化的结论。要统一解决这些困难，应该从它们的共性着手。重新考察这一经典物理中过去认为颠扑不破，奉为基石的理论可通过光量子假说解决。于是，1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了能量子化的观念。他假定黑体相当于一组连续振动的谐振子，振子的能量只能取最小能量单位ε的整数倍的值。黑体吸收或发射电磁辐射能量的方式是不连续的，只能以发射或吸收ε为单位的“量子”的方式进行。每个量子的能量与频率ν成正比,h（1.2.1）式中的比例常数h称为普朗克常量。这和过去经典电动力学中电磁波的能量只与振幅有关而与频率无关完全不同。而且能量的吸收和发射是量子化的。利用能量量子化的概念和统计物理学，普朗克推导出了以他的名字命名的普朗克公式，成功的解释了黑体辐射的实验结果。1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广。爱因斯坦提出，不仅黑体和辐射场的能量交换是量子化的，而且辐射场本身就由不连续的光量子组成。每一个光量子的能量ε与辐射场频率ν，之间仍满足（1.2.1）式。爱因斯坦的光量子其实就是光子。由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有22422cpcmo（1.2.2）c是光速，mo是光子的静质量为零。因此得到光子的能量和动量cp（1.2.3）联立（1.2.1）和（1.2.3）式得keehechPnnn2（1.2.4）式中en是光子运动方向上的单位向量，sJh.10054573.12/34nek2.（1.2.5）是波矢量。公式（1.2.1）和（1.2.4）称为普朗克—爱因斯坦（Planck-Einstein）关系式。利用普朗克—爱因斯坦关系，可以解释下述实验结果：1.黑体辐射光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量by的过程就是发射或吸收光子的过程。因此光子数不守恒。相应地光子的化学势为零。另外，光子是玻色子，自旋s=1,简并度g=2s+1应等于3。但由于电磁场存在横波条件，满足一个约束方程，所以实验上光子的自旋简并度g应取为2。在物理上就表现为光子具有两个不同的偏振方向。根据爱因斯坦光量子假说，将辐射场看成是光子气。利用玻色一爱因斯坦分布和（1..2.1）式，可得光子气在频率间隔νν+dν中的能量密度5是dpVpehVhgdkTh2341（1.2.6）再利用（1.2.3）式，最后得dehcdkTh1833（1.2.7）（1.2.7）式称为普朗克公式。可以证明，普朗克公式给出的场能量密度满足斯忒藩-玻尔兹曼定律。的确，由003318kThedchdE（1.2.8）令kThy，再注意到043151yedyy完成（1.2.8）式的积分后可得4aTE（1.2.9）3345158hcka（1.2.10）（1.2.9）式和（1.2.10）式与实验相符。另外，利用普朗克公式可以解释维恩位移律。由（1.2.7）式给出的ρν对ν的曲线与图1.1.1的实验结果相符。2.光电效应当光子照射到金属的表面上时，能量为hν的光子被电子吸收。根据能量守恒定律，这个能量部分用来克服金属的脱出功，使电子能逸出金属表面;部分变为电子逸出金属后的动能，即有oWhmv221（1.2.11）式中m是电子质量,v是电子逸出后的运动速度,W。是金属中电子的脱出功。显然，临界频率ν满足v=Wo/h（1.2.12）由（1.2.11））式可见，当，Vo,时.电子不能逸出金属表面，无光电效应出现;当ννo时，有光电效应发生。逸出的电子的动能221mv与入射光的频率ν有关。当入射光的强度增大时，入射的光子的数目增多，发生光电效应的电子的数目也增多，从而使逸出的电子的数目也增多，光电流的强度增大。这就相当完整地解释了所有光电效应的实验结果。3.康普顿效应6康普顿效应是光具有微粒性的进一步的实验证据。以射线入射到轻元素或原子质量很轻的物质中，对于这种物质，电子在原子中的束缚能很小，可以略去。另外，碰撞前电子的速度也很小，可近似视为静止.利用光子说，把x射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，再假定碰撞过程中能量和动量守恒，可解释康普顿效应的实验结果射线被轻物质中的电子散射后的波长将随散射角的增加而变大。记碰撞前、后光子的能量分别为ћw及ћw，电子的静质量为mo