湖北省2016届八校第二次联考数学(理科)试题

湖北省2016届八校第二次联考数学（理科）试题第1页共8页湖北省八校2016届高三第二次联考数学试题（理科）命题学校：黄冈中学命题人：冯小玮袁小幼审题人：范裕龙考试时间：2016年3月29日下午15:00—17:00试卷满分150分考试用时120分钟注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{230},{ln(2)}AxxxBxyx，则AB()A．(1,3)B．(1,3]C．[1,2)D．(1,2)2．若复数43(cos)(sin)55zi是纯虚数（i为虚数单位），则tan()4的值为()A．7B．17C．7D．7或173．在各项均为正数的等比数列{}na中，12,a且245,2,aaa成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则5S()A．32B．62C．27D．814．已知函数()sin()(0,)2fxx的最小正周期为，且其图像向左平移3个单位后得到函数()cosgxx的图像，则函数()fx的图像()A．关于直线12x对称B．关于直线512x对称C．关于点(,0)12对称D．关于点5(,0)12对称5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为()A．110B．23C．13D．146．已知定义在R上的函数()fx满足()()fxfx，(1)(1)fxfx，且当[0,1]x时,2()log(1fxx）,则(31)f=()A．0B．1C．1D．2华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学襄阳四中襄阳五中孝感高中鄂南高中湖北省2016届八校第二次联考数学（理科）试题第2页共8页7．若如下框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框①中应填入的是()A．6?iB．6?i≤C．5?iD．5?i8．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁9．设12,FF为椭圆22195xy的两个焦点，点P在椭圆上，若线段1PF的中点在y轴上，则21PFPF的值为()A．514B．513C．49D．5910．已知变量,xy满足48050,10xyxyy≥≤≥若目标函数(0)zaxya取到最大值6，则a的值为()A．2B．54C．524或D．211．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为()A．8B．252C．12D．41412．已知直线980xy与曲线32:3Cyxpxx相交于,AB,且曲线C在,AB处的切线平行，则实数p的值为()A．4B．4或3C．3或1D．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知03sinmxdx，则二项式(23)mabc的展开式中23mabc的系数为．14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足13BEBC，则AEBD＝．15．已知双曲线22221(0,0)yxabab的渐近线被圆22650xyx截得的弦长为2，则湖北省2016届八校第二次联考数学（理科）试题第3页共8页该双曲线的离心率为．16．已知数列{}na的前n项和为nS，对任意Nn，1(1)32nnnnSan且1()()0nntata恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在ABC中，角,,ABC的对边分别为cba,,，且满足2sin()6bCac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AMAC，求sinBAC．18．(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)总人数203644504010将学生日均课外课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女20110合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．参考公式：22=nadbcKabcdacbd，其中.nabcd参考数据：20PKk≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828湖北省2016届八校第二次联考数学（理科）试题第4页共8页19．(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD,底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,90BCD,PAABCD底面，ABM是边长为2的等边三角形，23PADM．（Ⅰ）求证：平面PAMPDM平面；（Ⅱ）若点E为PC中点,求二面角PMDE的余弦值．20．（本题满分12分）已知抛物线22xpy上点P处的切线方程为10xy．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设11(,)Axy和22(,)Bxy为抛物线上的两个动点，其中12yy且124yy，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求ABC面积的最大值．21．（本题满分12分）已知函数ln()(0)1xxfxaax．（Ⅰ）当(0,1)x时，求()fx的单调性；（Ⅱ）若2()()()hxxxfx,且方程()hxm有两个不相等的实数根12,xx．求证：121xx．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，在锐角三角形ABC中，ABAC，以AB为直径的圆O与边,BCAC另外的交点分别为,DE，且DFAC于F．（Ⅰ）求证：DF是O⊙的切线；（Ⅱ）若3CD，7=5EA，求AB的长．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点M的极坐标为(3,)2，若直线l过点P，且倾斜角为6，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于,AB两点，求PAPB．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()24fxxxm的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数ba,满足41532nabab时，求47ab的最小值．E湖北省2016届八校第二次联考数学（理科）试题第5页共8页湖北省八校2016届高三第二次联考理科数学试题答案及评分参考一、选择题1．C2．A3．B4．C5．D6．C7．C8．D9．B10．B11．D12．B二、填空题13．648014．215．6216．311,44三、解答题17．解答：（Ⅰ）312sin(sincos)sinsin22BCCAC，即3sinsinsincossinsinsincoscossinsinBCBCACBCBCC，3sinsincossinsinBCBCC，3sincos1BB，所以2sin()16B，得3B．………6分（Ⅱ）解法一：取CM中点D,连AD,则ADCM,则CDx，则3BDx，由（Ⅰ）知3B，33,27ADxACx，由正弦定理知，427sinsin60xxBACo，得21sin7BAC.………12分解法二：由（Ⅰ）知3B，又M为BC中点，2aBMMC，在ABMABC与中，由余弦定理分别得：22222()2cos,2242aaaacAMccBc222222cos,ACacacBacac又AMAC，2242aacc22,acac37,22acba，由正弦定理知，72sinsin60aaBACo，得21sin7BAC.18．解答：（Ⅰ）课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200湖北省2016届八校第二次联考数学（理科）试题第6页共8页2220060203090200=6.0606.635,150509011033K………5分所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．………6分（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，1(3,),4XB………8分1313()3,()34444916EXDX．………12分19．解答：（Ⅰ）ABM是边长为2的等边三角形,底面ABCD是直角梯形，3,CD又23,3,DMCM314,AD222,.ADDMAMDMAM又,PAABCD底面,DMPA,DMPAM平面DMPDM平面，平面.PAMPDM平面………6分（Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则(3,0,0),C(3,3,0),M(0,4,23),P设平面PMD的法向量为1111(,,)nxyz，则1111330,4230xyyz取113,(3,3,2).xn………8分E为PC中点，则,2,)332E（，设平面MDE的法向量为2222(,,)nxyz，则22222330,3+2302xyxyz取2213,(3,3,).2xn………10分由121213cos14nnnnuruururuur．二面角PMDE的余弦值为1314．………12分20．解答：（Ⅰ）设点200(,)2xPxp，由22xpy得22xyp，求导'xyp，湖北省2016届八校第二次联考数学（理科）试题第7页共8页因为直线PQ的斜率为1，所以01xp且200102xxp，解得2p，所以抛物线的方程为24xy．………4分（Ⅱ）设线段AB中点00,Mxy，则121200,,22xxyyxy222102112212114442ABxxxyykxxxxxx，∴直线l的方程为0022()yxxx，即02(4)0xxy，l过定点(0,4).………6分联立0022002:2()228024xAByxxxxxxxy得2200044(28)02222xxx＞＜＜，AB20