第1讲-无穷积分

《数学分析II》第1讲教案1第1讲无穷限反常积分敛散性及审敛法则授课题目无穷限反常积分敛散性及审敛法则教学内容1.无穷限反常积分的定义与计算方法；2.无穷限反常积分的性质；3.无穷限反常积分的比较审敛法则；4.条件收敛与绝对收敛.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好掌握无穷限反常积分的概念及计算方法，了解无穷限反常积分的性质，掌握无穷限反常积分的比较审敛法则，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性．教学重点及难点教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则.教学方法及教材处理提示(1)讲清无穷限反常积分是变限积分的极限，讲清反常积分与定积分的区别和联系，通过具体例题讲授使学生熟练掌握无穷限反常积分的计算方法，使学生充分认识到“无穷限反常积分=定积分+函数极限”．(2)重点是讲授无穷积分的比较判别法则（含比较比较判别法则的极限形式即柯西判别法判别法则），要求学生都能熟练掌握并灵活应用，也为今后讲授级数的比较判别法则作准备.(3)举例说明：当adxxf|)(|收敛时，不一定有lim()0xfx，由此使学生对柯西准则有进一步的理解．(4)关于狄利克雷判别法与阿贝尔判别法的内容安排在习题课上讲授.(5)第一节讲授无穷限反常积分的概念及性质，第二节讲授无穷限反常积分的审敛法则.作业布置作业内容：教材269P:1（1,4,5）；275P:4（2,3,4），7.讲授内容在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，这便是本章的主题．一、无穷限反常积分的定义定义1设函数／定义在无穷区间[,a)上，且在任何有限区间[ua,]上可积．如果存在极限Jdxxfuau)(lim则称此极限J为函数f在[,a)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作dxxfJa)(，并称dxxfa)(收敛．如果极限Jdxxfuau)(lim不存在，亦称dxxfa)(发散．类似地，可定义f在(b,]上的无穷积分：.)(lim)(dxxfdxxfbuub对于f在(,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dxxfdxxfdxxfaa其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注：dxxfa)(收敛的几何意义是：若f在],[a上为非负连续函数，则介于曲线)(xfy，直线ax以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J．《数学分析II》第1讲教案2例1讨论无穷积分.1)102xdx，.1)22xdx，.)302dxxex的收敛性．例2讨论下列无穷积分的收敛性：1)1pxdx，;)(ln)22pxxdx解：1）因为.1,ln1),11(1111pupupxdxpup，因此无穷积分当p1时收敛，其值为11p；而当1p时发散于.2）令txln，就有.)(ln2ln2pptdtxxdx从例1）知道，该无穷积分当1p时收敛，当1p时发散．二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分adxxf)(收敛与否，取决于积分上限函数)(uFuadxxf)(在u时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则．定理11.1无穷积分adxxf)(收敛的充要条件是：任给0，存在G≥a，只要Guu21,，便有2121)()()(uuuauadxxfdxxfdxxf．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．性质1若dxxfa)(1与dxxfa)(2都收敛，1k,2k为任意常数，则dxxfkxfka)()(2211也收敛，且dxxfkdxxfkdxxfkxfkaaa)()()()(22112211．性质2若f在任何有限区间[ua,)上可积，且有adxxf)(收敛，则adxxf)(亦必收敛，并有aadxxfdxxf)()(．证：adxxf)(由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0，存在G≥a，当Guu12时，总有2121)()(uuuudxxfdxxf.利用定积分的绝对值不等式，又有21)(uudxxf21)(uudxxf.再由柯西准则(充分性)，证得adxxf)(收敛又因uadxxf)(uadxxf)(，令u取极限，立刻得到不等式.当adxxf)(收敛时，称adxxf)(为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．性质3若f在任何有限区间[ua,]上可积，ba，则adxxf)(与bdxxf)(同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有adxxf)(=badxxf)(+bdxxf)(,《数学分析II》第1讲教案3性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出adxxf)(收敛的另一充要条件：任给0，存在0G，当uG时，总有.)(adxxf．事实上，这可由uaudxxfdxxfdxxf)()()(结合无穷积分的收敛定义而得．三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于uadxxf)(关于上限u是单调递增的，因此adxxf)(收敛的充要条件是uadxxf)(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2(比较法则)设定义在[,a)上的两个函数f和g都在任何有限区间[ua,]上可积，且满足),,[),()(axxgxf则当adxxg)(收敛时dxxfa)(必收敛(或当dxxfa)(发散时，adxxg)(必发散)．例3讨论dxxx021sin的收敛性．解：由于],0[,111sin22xxxx，而2102xdx为收敛，故dxxx021sin为绝对收敛．当选用1pxdx作为比较对象adxxg)(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)．推论1设f定义于[,a](0a)，且在任何有限区间[ua,]上可积，则有：(i)当),[,1)(axxxfp,且1p时,dxxfa)(收敛;(ii)当),[,1)(axxxfp且1p时,dxxfa)(发散.推论2设定义于[,a)，在任何有限区间[ua,.]上可积，且)(limxfxpx．则有：(i)当0,1p时,dxxfa)(收敛;(ii)当0,1p时,dxxfa)(发散.推论3若f和g都在任何[ua,)上可积，0)(xg，且,)()(limcxgxfx则有(i)当c0时，由adxxg)(收敛可推知dxxfa)(也收敛；(ii)当c0时，由adxxg)(发散可推知dxxfa)(也发散.例4讨论下列无穷限积分的收敛性：1);1dxexx2)dxxx0521．《数学分析II》第1讲教案4解：本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数都有0limlim22xxxxexexx，因此根据上述推论2)0,2(p，推知1)对任何实数都是收敛的.2)由于,11lim5221xxxx因此根据上述推论2)1,21(p推知2)时发散的.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法．定理11.3(狄利克雷判别法)若uadxxfuF)()(在[,a)上有界，)(xg在[,a)上当x时单调趋于0，则无穷积分adxxgxf)()(收敛．定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若adxxf)(收敛，)(xg在[,a)上单调有界，则无穷积分adxxgxf)()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．例5讨论dxxxp1sin与)0(cos1pdxxxp的收敛性．解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论：(i)当p1时dxxxp1sin绝对收敛．这是因为),,[,1sinaxxxxpp而1pxdx当p1时收敛，故由比较法则推知dxxxp1sin收敛.(ii)当10p时dxxxp1sin条件收敛．这是因为对任意u≥1，有2cos1cossin1uxdxu，而px1当0p时单调趋于)(0x，故由狄利克雷判别法推知dxxxp1sin工当0p时总是收敛的．另一方面，由于),1[,22cos21sinsin2xxxxxxxxp，其中dtttdxxx21cos2122cos是收敛的，而12xdx是发散的，因此当10p时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的．例6证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin12dxx,cos12dxxdxxx14sin证：前两个无穷积分经换元2xt得到,2sinsin112dtttdxx.2coscos112dtttdxx由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2xt而得1214sin21sindttdxxx，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．