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1实数及其运算一、选择题(每小题6分，共18分)1．(2014·宁波)下列各数中，既不是正数也不是负数的是(A)A．0B．－1C.3D．22．(2014·菏泽)下列数中比－1大的数是(C)A．－3B．－109C．0D．－13．(2014·盐城)已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝－|a1＋1|，a3＝－|a2＋2|，a4＝－|a3＋3|，…，依次类推，则a2014的值为(B)A．－1006B．－1007C．－1008D．－2014解析：a1＝0，a2＝－|a1＋1|＝－|0＋1|＝－1，a3＝－|a2＋2|＝－|－1＋2|＝－1，a4＝－|a3＋3|＝－|－1＋3|＝－2，a5＝－|a4＋3|＝－|－2＋4|＝－2，…所以，n是奇数时，an＝－n－12，n是偶数时，an＝－n2，故a2014＝－20142＝－1007二、填空题(每小题6分，共30分)4．(2013·杭州)32×3.14＋3×(－9.42)＝__0__．5．(2014·河北)若实数m，n满足|m－2|＋(n－2014)2＝0，则m－1＋n0＝__32__．6．(2012·德州)5－12__＞__12.(填“＞”“＜”或“＝”)7．(2014·娄底)按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．8．(2014·白银)观察下列各式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…猜想13＋23＋33＋…＋103＝__552__．解析：13＝12，13＋23＝(1＋2)2＝32，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝62，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝102，13＋23＋33＋…＋103＝(1＋2＋3…＋10)2＝552三、解答题(共52分)9．(12分)计算：(1)(2014·成都)9－4sin30°＋(2014－π)0－22；原式＝－2(2)(2014·梅州)(π－1)0＋|2－2|－(13)－1＋8.原式＝1＋2－2－3＋22＝210．(10分)(2012·广东)定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，2所以2是无理数．可以这样证明：设2＝ab，a与b是互质的两个整数，且b≠0.则2＝a2b2，a2＝2b2.因为2b2是偶数，所以a2是偶数，则a是不为0的偶数．设a＝2n(n是整数)，所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以2是无理数．仔细阅读上文，然后请证明：5是无理数．证明：设5＝ab，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝a2b2，a2＝5b2.因为5b2是5的倍数，所以a2是5的倍数，所以，a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．所以5是无理数11．(10分)在数1，2，3，…，2014前添符号“＋”和“－”，并依次运算，所得结果可能的最小非负数是多少？解：因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，2014之前任意添加符号“＋”或“－”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，2014中有2014÷2个奇数，即有1007个奇数，所以任意添加符号“＋”或“－”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n，n＋1，n＋2，n＋3之间添加符号“＋”或“－”，显然n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0.这启发我们：将1，2，3，…，2014每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(2009－2010－2011＋2012)－2013＋2014＝1.所以，所求最小非负数是112．(10分)(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：(1)32－4×12＝5①(2)52－4×22＝9②(3)72－4×32＝13③……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×(4)2＝(17)；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第n个等式成立13．(10分)已知数14的小数部分是b，求b4＋12b3＋37b2＋6b－20的值．分析：因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这种涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．解：因为9＜14＜16，即3＜14＜4，所以14的整数部分为3.则依题意得14＝3＋b，两边平方得14＝9＋6b＋b2，所以b2＋6b＝5.b4＋12b3＋37b2＋6b－20＝(b4＋2·6b3＋36b2)＋(b2＋6b)－20＝(b2＋6b)2＋(b2＋6b)－20＝52＋5－20＝1032015年名师预测1．下列各数中是无理数的是(A)A.2B．－2C．0D.132．2013年12月15日，我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面．月球离地球平均距离是384400000米，数据384400000用科学记数法表示为(A)A．3.844×108B．3.844×107C．3.844×106D．38.44×106