第1讲二次函数

2013高考数学直通车二轮30讲备课手册第1讲二次函数第1页第1讲二次函数一、教学目标1、理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域和值域．2、掌握求二次函数解析式的常用方法，并能根据条件求二次函数在闭区间上的最值．二、课前诊断1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．2、结合课件点评．必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程．题1：若函数2()24fxxaxa是偶函数，则函数()fx的最小值为．【点评】条件“偶函数”如何转化？由定义则可以用方法一：（特值法）由(1)(1)ff得0a；由几何性质则可以用方法二：（数形结合法）对称轴0xa得0a．题2：已知函数22()21fxxaxa在(,1)上是增函数，则a的取值范围是．【点评】问题：二次函数的单调性怎样处理？通法：（数形结合——考虑区间与对称轴的相对位置关系）对称轴1xa得1a．或当成一般函数用导数法，()220fxxa对,1x恒成立，得1a．题3：若命题“01)1(2xaxRx，使得”为假命题，则实数a的取值范围是__________.【点评】问题：题中命题是假命题如何处理？题中命题为假，则否定形式为真，可转化为“01)1(2xaxRx，使得”来处理，由0得31a题4：已知函数2()2fxxx，[,]xab的值域为[1,3]，则ba的取值范围是．【点评】教师要指导学生认真分析值域为[1,3]的准确含义：连续函数的最值必在定义域区间端点或极值点处取得，因此本题中必有()3fa或()3fb．由()3fx得2230xx，解得1x或3x，于是1a或3b．注意到当1x时()1fx，结合2()2fxxx的图象得11,3ab或31,1ba，2,4ba．3、诊断题归纳（1）二次函数的性质研究要关注二次函数的对称轴位置，如题1、题2的解决都是从二次函数的对称轴位置角度处理的；（2）对于像题3这样的题目，一定要给学生提醒转化意识；（3）四个问题都用到了数形结合的思想，这里要体会数形结合思想．三、例题探究例1已知函数2()2(0)fxxxx，问是否存在正数a，b，当[,]xab时，()()gxfx，且()gx的值2013高考数学直通车二轮30讲备课手册第1讲二次函数第2页域为11[,]ba？若存在，求出,ab的值，若不存在，请说明理由．【教学处理】指导学生初次分析问题，本题的实质是什么？（定轴动区间问题，需分类讨论．）再次分析问题，本题能减少分类吗？（发现1a这一重要特征，本题可以不讨论！）最后，老师请学生板演或在位置上做完后实物投影．【启发谈话与引导分析】（1）本题属定轴动区间问题，需分类讨论，分几种情况讨论？（2）课前诊断题3和题4启发我们：能不能减少分类？解：22()2(1)11,,gxxxxxab，值域是11,ba，11,a又0a1a，1()1()gaagbb，221212aaabbb，,ab是方程212xxx的两根，3210xx，2(1)(1)0xxx，12315151,,22xxx，1ba，151,2ab．【变式】（1）已知二次函数xxxf221)(，是否存在实数,()mnmn，使)(xf的定义域和值域分别是[,]mn和[3,3]mn？如果存在，求出,mn的值；若不存在，说明理由.处理方法同例2．答案：存在4,0mn满足要求．（2）若将例1中“是否存在正数a，b”改为“是否存在实数a，b”本题又该如何处理？例2设函数.)10()(是奇函数，且Rkaaakaxfxx（1）求实数k的值；（2）若，在，且1)(2)(23)1(22xmfaaxgfxx上的最小值为2，求实数m的值.【教学处理】让学生分析，引导学生对问题进行转化．【启发谈话与引导分析】第（1）问：奇函数能得到什么结论？)()(xfxf可得1k.(2)中引导学生进行整体换元.因为23)1(f，即221aa，解得舍去）或(212aa，所以2)22(2)22()22(222)(222xxxxxxxxmmxg.令xxxft22)(，因为1x，所以23)1(ft，所以2222)(22)(mmtmttxg.当23m，mt时，2min2)(mxg，解得2m；当23m，23t时，23417)(minmxg，解得231225m（舍去）；2013高考数学直通车二轮30讲备课手册第1讲二次函数第3页综上所述，2m.例3已知函数2()|1|2fxaxxa（a为实数）．（1）求()fx在[1,2]上的最小值；（2）记{|()0}AxRfx，若A，求证：314a．【教学处理】让学生先逐个尝试,思考分析，教师延迟引导，最后由学生完成解题过程．【启发谈话与引导分析】第（1）问：绝对值如何处理？（可以直接去掉！）；对参数a按什么标准分类？（首先是正负分类，再按区间与对称轴位置关系进行二次分类）．第（2）问：集合A的含义是什么？A含义又是什么？（化归为恒成立问题）恒成立问题怎么处理？（优先分离变量）解：（1）当[1,2]x时，2()12fxaxxa，若0a，()1fxx在区间[1,2]上单调递减，min()(2)3fxf；若0a，211()()2124fxaxaaa，min1(1)3221111()()2124421(2)6304faafxfaaaafaa，若0a，min()fx=(2)f63a．综上：min1322111()214421634aafxaaaaa．（2）由题意，()0fx的解集为R，即2|1|20axxa对任意的xR成立，2221(1)1212(1)2xxxxaxxxx，令1tx，则1xt，当0t时，()0gt；当0t时，221131()1(1)22342322ttgtttttt；2013高考数学直通车二轮30讲备课手册第1讲二次函数第4页当0t时，221131()3(1)22342322ttgtttttt；314a．【变式】如何求()fx在[1,2]上的最小值?四、解题反思每一道例题讨论后，都应留出一点时间让学生进行回顾和体悟．可引导学生对这三道例题作如下反思：1、在解题中，要注意化归思想的应用，将不熟悉问题转化为熟悉问题处理。2、定轴动区间与动轴定区间问题该怎样分类?该怎样减少分类？（按区间左、中、右分类；注意结合条件控制参数范围从而减少分类）3、绝对值问题有哪些常见处理方法？（去绝对值符号、两边平方、数形结合）4、恒成立问题有哪些常见处理方法？（分离变量、函数最值、变更主元、数形结合）（执笔：仪征市精诚高中张勇）