第1讲任意角弧度制及任意角的三角函数

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2013年高考会这样考】1．考查三角函数的定义及应用．2．考查三角函数值符号的确定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则|α|＝lr.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，角α的正割，余割，余切分别是secα＝1cosα＝rx，cscα＝1sinα＝ry，cotα＝1tanα＝xy，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴，y轴上的正射影(简称射影)．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝ON，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边(或其反向延长线)相交于点T或(T′)，则tanα＝AT.我们把轴上向量OM→、ON→和AT或(AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教B版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()．A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案C2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案A3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sinα＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案C4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为()．A．－55B.255C．－255D．－12解析由三角函数的定义可知，r＝5，cosα＝－15＝－55.答案A5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝y16＋y2＝－255⇒y＝－8.答案－8考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．[审题视点]利用终边相同的角进行表示及判断．解(1)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为αα＝π3＋kπ，k∈Z.(2)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ3＜2π⇒－37≤k＜187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜α2＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，m·360°＋225°＜α2＜m·360°＋270°；∴α2为第一或第三象限角．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为xx＝2kπ－π2，k∈Z，也可以表示为xx＝2kπ＋3π2，k∈Z.【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则()．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)解析对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k·360°±180°(k∈Z)．∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)．答案D考向二三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．[审题视点]根据三角函数定义求m，再求cosθ和tanθ.解由题意得，r＝3＋m2，∴m3＋m2＝24m，∵m≠0，∴m＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cosθ＝xr＝－322＝－64，tanθ＝yx＝5－3＝－153.当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角．∴cosθ＝xr＝－322＝－64，tan＝yx＝－5－3＝153.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()．A．－45B．－35C.35D.45解析取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±55，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－35.答案B考向三弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点](1)由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r＝10，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S△AOB＝12·AB·1032＝12×10×1032＝5032，∴S＝S扇形－S△AOB＝50π3－32.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40，S＝12lr＝12r(40－2r)＝r(20－r)≤2022＝100.当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.[审题视点]作出满足sinα＝32，cosα＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．解(1)作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分；(4)写出角的表达式．【训练4】求下列函数的定义域：(1)y＝2cosx－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．解(1)∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜34，∴－32＜sinx＜32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r(r＝x2＋y2＞0)，则sinα＝yr、cosα＝xr、tanα＝yx分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα、tanα的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．[解答示范]∵P(x，－2)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝x2＋2，(2分)又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x，∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.(6分)当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，有sinα＝－66，tanα＝－55；(9分)当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，∴sinα＝－66，tanα＝55.(12分)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别