第1讲函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质【自主学习】第1讲函数的图象与性质(本讲对应学生用书第31~34页)自主学习回归教材1.(必修1P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象，若0x1x2，则f(x1)f(x2).【答案】【解析】作出函数图象，不难得出结论.2.(必修1P25复习题3改编)已知函数f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}，则函数的值域为.【答案】{1，2，5}【解析】分别代入，即可求得.3.(必修1P40练习2改编)已知函数f(x)=|x+1|，则函数f(x)的单调增区间为.【答案】[-1，+∞)4.(必修1P45思考11改编)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)=1，则函数y=f(x)的解析式为.【答案】f(x)=1000-10xxx，，，，，【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.当x0时，-x0，所以f(-x)=1=-f(x)，即f(x)=-1，所以f(x)=1000-10.xxx，，，，，5.(必修1P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是函数.【答案】奇【解析】令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(-x)=-f(x)，即函数f(x)是奇函数.【要点导学】要点导学各个击破函数的单调性与奇偶性例1(2014·南通一模)已知a为实常数，y=f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x0时，f(x)=2x-32ax+1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥a-1对一切x0恒成立，求实数a的取值范围.【分析】(1)由奇函数的性质研究函数的单调区间，只需研究在区间(-∞，0)上的单调性即可，然后根据对称性即可得；(2)先求出在x0时f(x)的表达式，然后就a进行讨论求解.【解答】(1)由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在(-∞，0)上的单调性即可.对y=f(x)求导，得f'(x)=2+332ax，令f'(x)=0，得x=-a.①当a≤0时，f'(x)0，故f(x)在区间(-∞，0)上单调递增.②当a0时，x∈(-∞，-a)，f'(x)0，所以f(x)在区间(-∞，-a)上单调递增；x∈(-a，0)，f'(x)0，所以f(x)在区间(-a，0)上单调递减.综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(-∞，0)，(0，+∞)；当a0时，f(x)的单调增区间为(-∞，-a)，(a，+∞)，单调减区间为(-a，0)，(0，a).(2)因为f(x)为奇函数，所以当x0时，f(x)=-f(-x)=-3221axx=2x+32ax-1.①当a0时，要使f(x)≥a-1对一切x0恒成立，即2x+32ax≥a对一切x0恒成立.而当x=-2a0时，有-a+4a≥a，所以a≥0，则与a0矛盾，所以a0不成立.②当a=0时，f(x)=2x-1-1=a-1对一切x0成立，故a=0满足题设要求.③当a0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a，+∞)上是增函数，所以f(x)min=f(a)=3a-1a-1，所以a0时也满足题设要求.综上所述，a的取值范围是[0，+∞).【点评】(1)单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的性质，是简化问题的一种途径.变式(2015·启东中学)已知定义域为R的函数f(x)=1-22xxba是奇函数.(1)求实数a，b的值；(2)求证：函数f(x)在R上是减函数；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立，求实数k的取值范围.【解答】(1)因为f(x)是R上的奇函数，故f(0)=0，即-12ba=0，解得b=1，从而有f(x)=1-212xxa.又由f(1)=-f(-1)知-214a=-1-121a，解得a=2，所以f(x)=11-2221xx，所以a=2，b=1.(2)任取x1x2，f(x1)-f(x2)=111-22(21)xx-221-22(21)xx=122112(1-2)(12)-(1-2)(12)2(21)(21)xxxxxx=21122-2(21)(21)xxxx.因为x1x2，则22x-12x0，所以f(x1)f(x2)，故f(x)是R上的减函数.(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0等价于f(t2-2t)-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2-2t-2t2+k，即对一切t∈R有3t2-2t-k0恒成立，从而Δ=4+12k0，解得k-13.所以实数k的取值范围是1--3，.函数图象的识别与应用例2已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(1，13)，且函数对称轴方程为x=-12.(1)求函数f(x)的解析式.(2)设函数g(x)=[f(x)-x2-13]·|x|，求g(x)在区间[t，2]上的最小值H(t).(3)探究：函数y=f(x)的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数?如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.【分析】(1)根据函数对称轴方程为x=-12求得b的值，再由f(x)=x2+bx+c的图象过点(1，13)，求出c的值，从而求得f(x)的解析式；(2)由题意可得g(x)=(x-2)·|x|，画出它的图象，讨论t的范围，结合图象求出g(x)在[t，2]上的最值.(3)如果函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m，n2)，从而4n2-(2m+1)2=43，由此求得m，n的值，从而得出结论.【解答】(1)因为f(x)=x2+bx+c的对称轴方程为x=-12，所以b=1.又f(x)=x2+bx+c的图象过点(1，13)，所以1+b+c=13，解得c=11.所以f(x)=x2+x+11.(2)由(1)得，g(x)=(x-2)·|x|=22(-1)-10-(-1)10.xxxx，，，结合图象可知：当1≤t≤2时，g(x)min=t2-2t；当1-2≤t1时，g(x)min=-1；当t1-2时，g(x)min=-t2+2t.综上，H(t)=22-212-11-21-21-2.ttttttt，，，，，(3)如果函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m，n2)，其中m为正整数，n为自然数，则m2+m+11=n2，从而4n2-(2m+1)2=43，即[2n+(2m+1)][2n-(2m+1)]=43.注意到43是质数，且2n+(2m+1)2n-(2m+1)，2n+(2m+1)0，所以2(21)43102-(21)111.nmmnmn，，解得，因此，函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为(10，121).【点评】(1)解决“由式作图”问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象.(2)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法.变式已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(2)若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围.【解答】由题设知f(x)=22(-2)-1(-1][3)-(-2)1(13)xxxx，，，，，，，作出f(x)的图象如图所示.(变式)(1)由图知f(x)的增区间为[1，2]，[3，+∞)，减区间为(-∞，1]，[2，3].(2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a.设y=x+a，在同一坐标系下作出y=x+a的图象如图所示，则当直线y=x+a过点(1，0)时a=-1；当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时，联立2-4-3yxayxx，，消去y，得x2-3x+a+3=0.由Δ=9-4(3+a)=0，得a=-34.由图象知当a∈3-1-4，时方程至少有三个不相等的实根.函数的零点问题例3已知函数f(x)=a-1x-lnx(a∈R).(1)若a=2，求函数f(x)在(1，e2)上的零点个数(e为自然对数的底数)；(2)若f(x)恰有一个零点，求实数a的取值集合.【分析】(1)对确定的函数进行求导，从而确定f(x)在(1，e2)上单调递减，然后利用零点定理进行判断；(2)先行进行函数单调性的判断，然后结合图象，利用函数的零点定理进行判断，判断时可通过特殊点f(ea)，f(e-a)的值进行判断.【解答】(1)由题设得，f'(x)=21-xx，故f(x)在(1，e2)上单调递减，所以f(x)在(1，e2)上至多只有一个零点.又f(1)f(e2)=1×21-e0，故函数f(x)在(1，e2)上只有一个零点.(2)f'(x)=21-xx，令f'(x)=0，得x=1.当x1时，f'(x)0，f(x)在(1，+∞)上单调递减；当0x1时，f'(x)0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)max=f(1)=a-1.①当f(x)max=0，即a=1时，因为最大值点唯一，故符合题设.②当f(x)max0，即a1时，f(x)0恒成立，不合题设.③当f(x)max0，即a1时，一方面，ea1，f(ea)=-1ea0；另一方面，e-a1，f(e-a)=2a-eaea-ea0(易证：ex≥ex)，于是f(x)有两个零点，不合题设.综上，a的取值集合为{1}.【点评】求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解.本题第(1)问，第(2)问是证明零点问题，分离参数，数形结合等方法是目前大多学生采用的解题方法.变式(2015·海门中学)设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2015，2015]上的根的个数，并证明你的结论.【解答】(1)因为f(1)=0，且f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0，又因为f(2-x)=f(2+x)，令x=-3，得f(-1)=f(5)≠0，所以f(-1)≠f(1)，且f(-1)≠-f(1).所以f(x)是非奇非偶函数.(2)f(10+x)=f(2+8+x)=f[2-(8+x)]=f(-6-x)=f[7-(13+x)]=f(7+13+x)=f(20+x)，所以f(x)是以10为周期的周期函数.又由f(x)的图象关于x=7对称知，f(x)=0在(0，10)上有两个根，则f(x)=0在(0，2015]上有202×2=404个根；在[-2015，0]上有201×2=402个根.因此，方程f(x)=0在闭区间[-2015，2015]上共有806个根.1.(2015·全国卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】cab【解析】因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f(x)=2|x|-1，所以a=f(l