第1讲基本不等式与线性规划

第1讲基本不等式与线性规划【自主学习】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第24~27页)自主学习回归教材1.(必修5P101习题2改编)若x0，y0，且log3x+log3y=1，则1x+1y的最小值是.【答案】233【解析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以1x+1y≥211·xy=213=233.2.(必修5P90习题6改编)若x，y满足约束条件24-1-22xyxyxy，，，则z=x+y的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3.(必修5P91习题3改编)函数y=2254xx的最小值为.【答案】52【解析】设t=24x(t≥2)，易知y=t+1t在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=24x=2，即x=0时，ymin=52.4.(必修5P91复习题13改编)设x-1，则函数y=(5)(2)1xxx的最小值为.【答案】9【解析】y=27101xxx=x+1+41x+5，因为x-1，所以y=x+1+41x+5≥9，当且仅当x=1时取等号.5.(必修5P84习题4改编)若实数x，y满足约束条件-2022xyxy，，，则22xy的最小值为.【答案】2【解析】画出图象，可知最小值为原点到直线x+y-2=0的距离为2.【要点导学】要点导学各个击破运用基本不等式求最值例1(2015·扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2)由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】5-12【解析】方法一：由x2+2xy-1=0得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx=254x+214x-12≥2516-12=5-12，当且仅当x=±415时等号成立.方法二：由x2+2xy-1=0得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=5-12，n=512，从而x2+y2≥1512=5-12.变式1若a0，b0，且12ab+11b=1，则a+2b的最小值为.【答案】2312【解析】由已知等式得2a+2b+1=2ab+2a+b2+b，从而a=2-12bbb，a+2b=2-12bbb+2b=12+32b+12b≥12+234=2312，故有最小值2312.变式2(2015·扬淮南连二调)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lg4lgzx+lglgzy的最小值为.【答案】98【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lgx0，lgy0，lgz0，且z2=xy，从而lgz=12(lgx+lgy)，所以lg4lgzx+lglgzy=lgz114lglgxy=lglg2xy·114lglgxy=58+1lglg2lg4lgxyyx≥58+12·lglg·lglgxyyx=9lglg28lg4lgxyyxyx当且仅当，即时取等号.线性规划中的最值问题例2(2015·盐城三模)若x，y满足约束条件-20-020xyxyxy，，，则目标函数z=2x+y的最大值为.(例2)【答案】6【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当目标函数过点A(4，-2)时，取得最大值z=2x+y=2×4-2=6.变式1(2015·苏北四市期末)若实数x，y满足x+y-4≥0，则z=x2+y2+6x-2y+10的最小值为.(变式1)【答案】18【解析】先作出不等式x+y-4≥0表示的平面区域如图所示，则z=(x+3)2+(y-1)2表示不等式x+y-4≥0表示的平面区域内的点(x，y)与定点(-3，1)距离的平方，可求zmin=222|-31-4|11=18.变式2(2015·浙江卷)已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是.【答案】15【解答】当x，y满足x2+y2≤1时，2x+y-40，6-x-3y0，设z=|2x+y-4|+|6-x-3y|，则z=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10，即3x+4y+z-10=0.由题意可知，|-10|5z≤1，即|z-10|≤5，所以5≤z≤15，故所求最大值为15.基本不等式模型的应用例3(2014·南京学情调研)如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大?并求其最大面积.(例3)【分析】引入变量，可设休闲广场的长为xm，然后求出宽，可以将绿化区域的总面积表示成x的函数，然后利用基本不等式求最大面积，从长、宽的取值可求得x的取值范围，注意基本不等式等号成立的条件.【解答】设休闲广场的长为xm，则宽为2400xm，绿化区域的总面积为Sm2，则S=(x-6)24004x=2424-240046xx=2424-43600xx，x∈(6，600).因为x∈(6，600)，所以x+3600x≥23600·xx=120，当且仅当x=3600x，即x=60时取等号.此时S取得最大值，且最大值为1944.答：当休闲广场的长为60m，宽为40m时，绿化区域总面积最大，最大面积为1944m2.【点评】在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等.如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值.在实际问题中，由实际意义得出的变量取值范围十分重要.变式(2015·金陵中学)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB=θ，tanθ=t.(变式)(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问：探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少(平方百米)?【解答】(1)由题设得，BP=t，CP=1-t，0≤t≤1.∠DAQ=45°-θ，DQ=tan(45°-θ)=1-1tt，CQ=1-1-1tt=21tt，所以PQ=22CPCQ=222(1-)1ttt=211tt，所以l=CP+CQ+PQ=1-t+21tt+211tt=1-t+1+t=2.(2)S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=1×1-12×1×t-12×1×1-1tt=1-2t-12×1-1tt=1-2t-12×2-(1)1tt=1-2t-12×2-11t=1+12-2t-11t=2-1121tt，因为1+t0，所以S=2-1121tt≤2-21121tt=2-2，当且仅当12t=11t，即t=2-1时等号成立.答：探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2-2)平方百米.1.若0x1，则当f(x)=x(4-3x)取得最大值时x的值为.【答案】23【解析】因为0x1，所以f(x)=x(4-3x)=13×3x(4-3x)≤13×234-32xx=43，当且仅当3x=4-3x，即x=23时，取“=”.2.(2015·南京、盐城一模)若实数x，y满足xy0，且log2x+log2y=1，则22-xyxy的最小值为.【答案】4【解析】因为log2x+log2y=log2xy=1，所以xy=2.因为xy0，所以x-y0，所以22-xyxy=2(-)2-xyxyxy=x-y+4-xy≥24=4，当且仅当x-y=2时取等号.3.(2015·泰州二模)已知实数x，y满足约束条件-402-104-40xyxyxy，，，则z=|x|+|y-3|的取值范围是.【答案】[1，7]【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示(△ABC包含边界)，此时x≥0，y≤3，则z=x-y+3，作出直线l0：y=x，并平行移动，当直线经过点A时，zmin=1；当直线经过点C(4，0)时，zmax=7，所以z的取值范围为[1，7].(第3题)4.(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1t每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1t甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为.甲乙原料限额A(t)3212B(t)128【答案】18万元(第4题)【解析】设该企业每天生产甲种产品xt、乙种产品yt，则x，y需满足约束条件32122800xyxyxy，，，，可获利润z=3x+4y.约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部(如图)，把各顶点坐标代入检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值3×2+4×3=18，即该企业每天可获得的最大利润为18万元.5.(2015·南通期末)如图，已知函数y=ax+b(b0)的图象经过点P(1，3)，则4-1a+1b的最小值为.(第5题)【答案】92【解析】方法一：(基本不等式法)由图可知a1，点(1，3)在函数y=ax+b的图象上，所以a+b=3，且1a3，0b2，所以4-1a+1b=12×241-1ab=12[(a-1)+b]41-1ab=141521baab≥92.当且仅当4-1ba=-1ab，即a=73，b=23时取等号.所以4-1a+192b的最小值为.方法二：(三角代换法)由方法一可知a+b=3，且1a3，0b2，所以-12a+2b=1.令-12a=cos2θ，2b=sin2θ，所以4-1a+1b=22cos+212sin=2(1+tan2θ)+21112tan=52+2tan2θ+212tan≥92.以下同方法一.【融会贯通】完善提高融会贯通典例学校某研究性学习小组去化工厂实习，同学们在体会劳动辛苦的同时，发现并进行了如下的课题研究.现知道化工厂的主控制表盘高1m，表盘底边距地面2m，问：值班人员坐在什么位置上时表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2m).【思维引导】【规范解答】(典例)如图，CD=2-1.2=0.8，设AD=x，∠CAD=β，∠BAD=α，∠BAC=φ.则tanα=BDAD=10.8x=1.8x，…………………………………………………………2分tanβ=CDAD=0.8x.………………………………………………………………………4分因为tanφ=tan(α-β)=tan-tan1tantan，……………………………………………6分所以tanφ=1.80.8-1.80.81xxxx=11.44xx≤11.442xx=12.4，…………8分当且仅当x=1.44x，即x=1.2时，……………………………………………………10分tanφ达到最大值12.4，φ是锐角，tanφ最大时，φ也最大，…………………12分所以值班人员看表盘最清楚的位置为AD=1.2m.…………………………………14分【精要点评】本题考查解三角形的知识、两角差的正切公式的应