湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试数学理试题

2234主(正)视图左(侧)视图俯视图第5题图华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试数学（理科）试题命题人：吴巨龙尹友军审题人：殷希群2015.5.25本试题卷共4页，共22题，共中15、16题为选考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{,}Aab，集合23,log(3)Ba，若{0}AB,则AB等于A．1,0,3B．2,0,3C．0,3,4D．1,0,32．下列说法中不正确．．．的是A．随机变量2(3,)N，若(6)0.3P，则(03)0.2P．B．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．C．对命题p：0xR，使得20010xx，则p：Rx，有210xx．D．命题“在ABC中，若sinsinAB，则ABC为等腰三角形”的逆否命题为真命题．3．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列na，已知212aa，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为A．20B．40C．30D．无法确定4．把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为A．96B．240C．48D．405．一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A．12343B．4394333C．431233D．434336．如图，正方形OABC的边长为1，记曲线2yx和直线14y，1,0xx所围成的图形（阴影部分）为，若向正方形OABC内任意投一点M，则点M落在区域内的概率为A．14B．13C．23D．257．已知a，b是平面内夹角为90的两个单位向量，若向量c满足()()0cacb，则||c的最大值为A．1B．2C．3D．28．设,xy满足不等式组60210320xyxyxy，若zaxy的最大值为24a，最小值为1a，则实数a的取值范围为A．[1,2]B．[2,1]C．[3,2]D．[3,1]9．已知双曲线22221yxab(0,0)ab的两条渐近线与抛物线22ypx(0)p的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，ABO的面积为3，则p的值为A．6B．23C．2D．210．已知函数()11fxmxxx，则关于函数()yfx的零点情况，下列说法中正确的是A．当1322m时，函数()yfx有且仅有一个零点．B．当322m或1m或1m或0m时，函数()yfx有两个零点．C．当3220m或01m时，()yfx有三个零点．D．函数()yfx最多可能有四个零点．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一）必考题（11－14题）11．已知复数31izi，则z的虚部是．12．定义运算ab为执行如图所示的程序框图输出的S值，则55(cos)(sin)1212的值为．13．已知函数()|2|fxx，若0b，且,abR时，都有不等式|||2|||()ababbfx成立，则实数x的取值范围是．开始结束S输出,ab输入ab23Sbab是否Sab第12题图第6题图OABCxy141114．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当3n时，第*()nnN行空心．．圆点个数na与第1n行及第2n行空心．．圆点个数12nnaa，的关系式为；第12行的实心．．圆点的个数是．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点,BC，点D在线段BC上，且2DCBD，BADPAB，210PA，4PB，则线段AB的长为.16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标平面内，曲线C的参数方程为cossinxryr（0r，为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A、B的极坐标分别为2(2,)3、(2,)，若直线AB和曲线C只有一个公共点，则r．三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知函数()2cos(sincos)()fxxxxmmR，将()yfx的图像向左平移4个单位后得到()ygx的图像，且()ygx在区间[0,]4内的最大值为2．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是abc、、，若3()14gB，且2ac，求ABC的周长l的取值范围．18．（本小题满分12分）现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目．（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率；（Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记XY，求随机变量的分布列与数学期望()E．第15题图PDCBA第1行第2行第3行第5行第6行第4行第14题图19．（本小题满分12分）在等腰RtABC中，90BAC，2ABAC，DE、分别是边AB、BC的中点，将BDE沿DE翻折，得到四棱锥BADEC，且F为棱BC中点，2BA．（Ⅰ）求证：EF平面BAC；（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点Q，使得//AF平面BEQ？若存在，求二面角QBEA的余弦值，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知等差数列{}na的公差为1，前n项和为nS，且27126aaa．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式na与前n项和nS；（Ⅱ）将数列{}na的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}nb的前三项，记数列{}nnab的前n项和为nT，若存在*mN，使得对任意*nN，总有nmST成立，求实数的取值范围．21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyMabab的左焦点为1(1,0)F．（Ⅰ）设椭圆M与函数yx的图像交于点P，若函数yx在点P处的切线过椭圆的左焦点1F，求椭圆的离心率；（Ⅱ）设过点1F且斜率不为零的直线l交椭圆于AB、两点，连结AO（O为坐标原点）并延长，交椭圆于点C，若椭圆的长半轴长a是大于1的给定常数，求ABC的面积的最大值()Sa．22．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(0)fxxx．（Ⅰ）证明：()1xfxx；（Ⅱ）比较20132015与20142014的大小；（Ⅲ）给定正整数(2015)nn，n个正实数1x，2x，…，nx满足121nxxx，证明：222201512121()()1112016nnnxxxxxxACDEBFQABCDE华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试数学（理）答案及评分标准华中师大一附中高三年级数学组提供2015.5一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）题号12345678910答案BCAADABBBC二、填空题：（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）11．1212．1213．[1,5]14．12nnnaaa；8915．2316．3三、解答题：（本大题共6小题，共75分）17．解：（Ⅰ）由题设得()sin2cos212sin(2)14fxxxmxm，()2sin[2()]12sin(2)1444gxxmxm，因为当[0,]4x时，32[,]444x，所以由已知得242x，即8x时，max()212gxm，所以1m；………6分（Ⅱ）由已知33()2sin()1424gBB，因为三角形中33022B，所以374244B，所以33244B，即3B，又因为2ac，由余弦定理得：222222223()2cos()3()14acbacacBacacacacac，当且仅当1ac时等号成立，又2bac，12b，所以ABC的周长[3,4)labc，故△ABC的周长l的取值范围是[3,4)．………12分18．解：由题意知，这4个人中每个人选择A题目的概率为13，选择B题目的概率为23，记“这4个人中恰有i人选择A题目”为事件iA（0,1,2,3,4i），4412()()()33iiiiPAC，（Ⅰ）这4人中恰有一人选择B题目的概率为3334128()()()3381PAC………4分（Ⅱ）的所有可能取值为0，3，4，且044404442116117(0)()()()()33818181PPAPACC，13331344121232840(3)()()()()()()3333818181PPAPACC，222241224(4)()()()3381PPAC，的分布列是034P178140812481所以1740248()0348181813E………12分19．解：（Ⅰ）证明：取AB中点H，连结DH、HF，因为在等腰RtABC中，90BAC，2ABAC，DE、分别是边AB、BC的中点，所以1ADBD，又因为翻折后2AB，所以翻折后ADBD，且ADB为等腰直角三角形，所以DHAB，因为翻折后DEAD，DEBD，且ADBDD，DE平面ADB，因为//DEAC，AC平面ADB，ACDH，又ABACA，DH平面ABC，又//HFAC，//DEAC，且12HFACDE，DEFH是平行四边形，//EFDH，EF平面ABC；………5分（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系Dxyz．则(0,1,0)A，(0,0,1)B，(1,0,0)E，(2,1,0)C，11(1,,)22F，设(0,,0)Qt（01t），则(0,,1)BQt，(1,,0)EQt，11(1,,)22AF，ACDEBFQHxyz设平面BQE的法向量为(,,)nxyz，则由0nBQ，且0nEQ，得00ytzxty，取1y，则(,1,)ntt，要使//AF平面BEQ，则须1111(,1,)(1,,)02222nAFtttt，所以13t，即线段AD上存在一点1(0,,0)3Q，使得//AF平面B