第21讲抽象函数型综合问题

数学高考综合能力题选讲21抽象函数型综合问题100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．范例选讲例1．定义在R上的函数fx满足：对任意实数,mn，总有fmnfmfn，且当0x时，01fx．（1）试求0f的值；（2）判断fx的单调性并证明你的结论；（3）设22,1,,21,AxyfxfyfBxyfaxyaR，若AB，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数fx．讲解：（1）在fmnfmfn中，令1,0mn．得：110fff．因为10f，所以，01f．（2）要判断fx的单调性，可任取12,xxR，且设12xx．在已知条件fmnfmfn中，若取21,mnxmx，则已知条件可化为：2121fxfxfxx．由于210xx，所以2110fxx．为比较21fxfx、的大小，只需考虑1fx的正负即可．在fmnfmfn中，令mx，nx，则得1fxfx．∵0x时，01fx，∴当0x时，110fxfx．又01f，所以，综上，可知，对于任意1xR，均有10fx．∴2112110fxfxfxfxx．∴函数fx在R上单调递减．（3）首先利用fx的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子．222211fxfyfxy即，210faxyf，即20axy．由AB，所以，直线20axy与圆面221xy无公共点．所以，2211a．解得：11a．（4）如12xfx．点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0mn；以及21,mnxmx等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决．例2．已知定义在R上的函数fx满足：（1）值域为1,1，且当0x时，10fx；（2）对于定义域内任意的实数,xy，均满足：1fmfnfmnfmfn试回答下列问题：（Ⅰ）试求0f的值；（Ⅱ）判断并证明函数fx的单调性；（Ⅲ）若函数fx存在反函数gx，求证：21111511312ggggnn．讲解：（Ⅰ）在1fmfnfmnfmfn中，令0,0mn，则有010fmffmfmf．即：100fmfmffmf．也即：2010ffm．由于函数fx的值域为1,1，所以，210fm，所以00f．（Ⅱ）函数fx的单调性必然涉及到fxfy，于是，由已知1fmfnfmnfmfn，我们可以联想到：是否有1fmfnfmnfmfn？（＊）这个问题实际上是：fnfn是否成立？为此，我们首先考虑函数fx的奇偶性，也即fxfx与的关系．由于00f，所以，在1fmfnfmnfmfn中，令nm，得0fmfm．所以，函数fx为奇函数．故（＊）式成立．所以，1fmfnfmnfmfn．任取12,xxR，且12xx，则210xx，故210fxx且211,1fxfx．所以，21212110fxfxfxxfxfx所以，函数fx在R上单调递减．（Ⅲ）由于函数fx在R上单调递减，所以，函数fx必存在反函数gx，由原函数与反函数的关系可知：gx也为奇函数；gx在1,1上单调递减；且当10x时，0gx．为了证明本题，需要考虑gx的关系式．在（＊）式的两端，同时用g作用，得：1fmfnmngfmfn，令,fmxfny，则,mgxngy，则上式可改写为：1xygxgygxy．不难验证：对于任意的,1,1xy，上式都成立．（根据一一对应）．这样，我们就得到了gx的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将2131nn写成1xyxy的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．事实上，由于211112111211131121111212nnnnnnnnnnnn，所以，21113112gggnnnn．所以，211151131gggnn1111112334121122111222ggggggnnggngggn点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定0f的值．高考真题1．（2001年全国高考题）设fx是定义在R上的偶函数，其图像关于直线yx对称，对任意121,0,2xx都有1212fxxfxfx，且10fa．（Ⅰ）求12f及14f；（Ⅱ）证明：fx是周期函数；（Ⅲ）记122nafnn，求limlnnna．2．（2002北京高考题）已知fx是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的,abR都满足：fabafbbfa（Ⅰ）求0,1ff的值；（Ⅱ）判断fx的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若*222,nnffunNn，求数列nu的前n项的和nS．[答案与提示：1．（Ⅰ）1/21/411,24fafa；（Ⅱ）略；（Ⅲ）limln0nna．2．（Ⅰ）010ff；（Ⅱ）奇函数；（Ⅲ）112nnS．]