第22讲从整体上看问题

让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)125第22讲从整体上看问题黎曼几何把几何局部化，但我们不能永远只在一个小区域里面，所以局部化之后又要整体化.---陈省身知识方法扫描解数学题，常常化“整”为“零”，使问题变得简单，以利于问题的解决.不过有时则反其道而行之，需要我们由“局部”到“整体”，站在整体的立场上，从问题的整体考虑，综观全局研究问题，通过研究整体结构、整体形式来把握问题的本质，从中找到解决问题的途径.成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”的意思就是如果过分注意细节，而忽视全局，我们就不会真正地理解一个东西。解数学题也是这样，有时候不能过分拘泥于细节，要注意从整体上看问题，即着眼于问题的全过程，抓住其整体的特点，往往能达到化繁为简、变难为易的目的，促使问题的解决．所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。经典例题解析我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家，在电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：例1甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一只狗，狗每小时跑5千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到乙时再往甲这边跑……，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少路？分析我们设狗从甲出发第一次碰到乙时所用时间为t1，所走路程为S1；再往回跑遇见甲所花时间为t2，所走路程为S2；这样依次有t3、S3、t4、S4……；直到甲、乙两人相遇为止，此时有tn，Sn．显然狗所花时间为t1+t2+t3…tn，所走路程为S1＋S2+S3+…+Sn．只要逐个算出，总能算出最终结果．这是通常的算法，然而绝非好方法．苏步青教授略加思索，就把答案告诉了这位高斯故乡的同行．这位数学家满意地笑了．苏步青教授是这样思考的：狗不断地跑，从出发到甲、乙相遇为止，这样狗就以每小时5千米的速度整整跑了50÷（3+2）=10小时，答案是：5×10=50千米．评注苏步青教授的高明之处就在于着眼于“狗不断地跑”这个全过程，抓住“直到甲、乙相遇为止”这个整体去分析，这就把局部看来（如狗来回每次与甲、乙相遇）十分繁琐的问题变得十分简便了．例2有甲，乙，丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，购丙1件，共需要315元。若购甲4件，购乙10件，购丙1件，共需420元。问购甲，乙，丙各一件共需多少元？分析通常的想法是先求出甲，乙，丙三种货物的单价是多少。但是由于题目所给的已知条件少于未知数的个数，要求单价势必就得解不定方程，能否不求让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)126单价，而直接求甲，乙，丙各一件的价格当成一个整体来求呢？这就要求从整体上把握条件与结论之间的联系。设甲、乙、丙的单价分别为zyx,,元，则由题意得42010431573zyxzyx问题实际上只要求zyx的值，而不必非求zyx,,的值，因此设法分离出zyx的值。原方程组可以得到如下等价变形：420)()3(3315)()3(2zyxyxzyxyx易得，zyx=105，即购的甲、乙、丙各一件共要105元。例3正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。问：一共可以剪成多少个三角形？共需剪多少刀？解：我们从整体来考虑，先计算所有三角形的内角和。汇聚在正方形内一点的诸角之和是360°，而正方形内角和也是360°，共有360°×1999＋360°，从而三角形的个数是由于每个三角形有三条边，而正方形纸原来的4条边当然不用剪；其余的边，由于是两个三角形的公共边，剪一刀出两条边，所以共剪的刀数是例4求)()3)(2)(1(nxxxxM的展开式中2nx的系数。分析M中2nx的系数为1，2，3，n中取出2个作积的总和，即nnA2423213121nn)1(上式很复杂难以下手，若把这些和视为整体，观察其各局部的特征，联想到212()naaa的展开式，不难发现下面的解法。由Ann2321)321(22222得让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)127222221[(123)(123)]2Ann)23)(1()1(241nnnn把需要解决的问题视为一个整体，从整体形象出发，联想挖掘问题的内在联系，转化成一个数学问题的动态思维，体现了思维的整体化思想模式。点评例4中要求的是一个整体量.由于无法（实际上也没必要）先将其中每个局部量先求出来后再求整体量，但这些局部量却有着整体上的联系，所以直接从整体出发去分析问题解决问题.例5能否在5×5的表格中填入1，2，…，24，25等25个数，使填入后每行中若干个数之和等于同行中其余各数之和。分析一一具体验证各种填法是否满足要求，难以奏效，现从整体着眼考虑.若每行填入符合要求的数，则该行中各数之和为偶数（如15=1+2+3+9，那个行数字之和为1+2+3+9+15=30），那么所有各行数的总和应为偶数.但填入数之和又是1+2+…+25=奇数.可见满足要求的填数方式是不存在的.例6在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6,打乱次序后,将纸片翻过来,在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数,然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值,得到6个数,请你证明:所得的6个数中至少有两个是相同的.证明从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用|ai-bi|与ai-bi的奇偶性相同．引入字母进行推理证明．设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3,a4,a5,a6,反面写的数是b1，b2，b3,b4,b5,b6,则6张卡片正面写的数与反面写的数的差的绝对值分别为|a1-b1|，|a２-b２|，|a３-b３|，|a４-b４|，|a5-b5|，|a6-b6|．设这6个数两两不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值.于是|a1-b1|+|a２-b２|+|a３-b３|+|a４-b４|+|a5-b5|+|a6-b6|=0+1+2+3+4+5=15是个奇数.另一方面，|ai-bi|与ai-bi（i=1,2,3,4,5,6）的奇偶性相同，所以|a1-b1|+|a２-b２|+|a３-b３|+|a４-b４|+|a5-b5|+|a6-b6|与（a1-b1）+(a２-b２)+(a３-b３)+(a４-b４)+(a5-b5)+(a6-b6)=(a1+a２+a３+a４+a5+a6)-(b1+b２+b３+b４+b5+b6)=（1+2+3+4+5）-（1+2+3+4+5）=0的奇偶性相同，是个偶数，矛盾.所以,|a1-b1|，|a２-b２|，|a３-b３|，|a４-b４|，|a5-b5|，|a6-b6|这6个数中至少有两个是相同的.例7已给数表让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)12812341.20.53.991242.5631.479－－－将它的任一行或任一列中的所有数同时变号，称为一次“变换”。问能否经过若干次变换，使表中的数全变为正数。分析因为每次变换改变表中4个数的符号，但是4(1)1，因此变换不会改变所变动的那行（或列）中4个数乘积的符号。开始时，数表中16个数的乘积是负数（整体），于是无论作多少次变换，表中的16个数的乘积总是负的。因而，要使表中的数全变为正数，这是办不到的。评注在本题的分析中，我们把局部的变化（某一行或列的所有数同时变号）对整体（数表中所有乘积的符号）的影响联系起来考虑，从而使问题迎刃而解。有时候，当我们从局部入手难以处理问题时，可以试着从整体上去考虑问题。站得高，看得远，有利于把握问题的本质，找到内在规律，从而使问题得到解决。例8在10×10的方格表中写着自然数1~100:第1行从左到右依次写着1~10;第2行从左到右依次写着11~20;如此下去.安德列试图把方格表全部分割成1×2的矩形,并计算每个矩形中两个数的乘积,再把所得的乘积相加.他应当怎样分割,才能使所得和数尽可能的小?解将1×2的矩形称为“多米诺”,将所分出的多米诺编号.设在第i号多米诺中所写的两个数为,iiab,则222().22iiiiiiababab对每个多米诺都写出这样的表达式.求和后得知,所要考察的50个乘积的和S为2222222221250125011225050()()().22aaabbbabababS上式右端的第一个分式等于22212100,2其值与分割方式无关.而第二个分式的分子中的每一项,都或者为21,或者为210,这取决于多米诺是横向的还是纵向的.因此,当所有的多米诺都为纵向时,其中每一项都是100,第二个分数达到最大,此时,S为最小.同步训练1．从下面每组数中各取一个数，将它们相乘,那么所有这样的乘积的总和是让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)129（）.第一组:15,3,4.25,5.753;第二组：112,315;第三组：52.25,,412.2．有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的牛奶多？为什么？3.全家共四人.如果玛莎的奖学金增加一倍，那么全家总收入将增加5%；如果妈妈工资增加一倍，那么总收入就会增加15%；如果爸爸的工资增加一倍，总收入就能增加25%.问：如果爷爷的退休金能增加一倍，那么全家总收入能增加百分之几？4．有依次排列的3个数：3，9，8.对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9，8.继续依次操作下去,问:从数串3,9,8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?5．一辆汽车下坡的速度为72km/h，在平地上的速度为63km/h，上坡的速度为56km/h.汽车从A地到B地用了4个小时，而返程用了4小时40分钟.则AB两地相距多少km？6．已知六边形ABCDEF的每个内角都是120°，且AB＝1,BC＝3,CD＝4,DE＝2.求它的周长。7．在黑板上写上1，2，3，…，1998。按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差a－b（其中a≥b），直到黑板上剩下一个数为止。问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？8．边长为10米的正六边形的每个顶点上各长着一棵树。在这6棵树上各有1只黄雀。如果某只黄雀从一棵树上飞到另一棵之上，那么必有另一只黄雀朝相反的方向飞到同样距离之外的树上。试问，这些黄雀能否飞到同一棵树之上？9．棋子在正方形的方格纸上移动，每一步它可向上移入邻格，或向右移入邻格，或向左下方移入对顶的方格（见图1）。试问，它能否到遍每个方格刚好一次，并终止于出发处的右邻方格？让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)130图110．在黑板上写有若干个或。可以擦去两个符号，并根据擦去的两个符号相同或不同而加上一个号或