第22课时矩形菱形正方形

第1页（共9页）第22课时矩形、菱形、正方形【基础知识梳理】1.定义:（1）矩形的定义：__________________________的平行四边形叫矩形．(2）菱形的定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形．（3）正方形的定义：的平行四边形叫正方形。(4)依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。2.矩形、菱形、正方形的性质与判定：矩形的性质：矩形的常用判定方法：①矩形的四个角都是_______；①有______角是直角的四边形是矩形；②矩形的对角线_________；②对角线相等的_____________是矩形；推论：直角三角形斜边上的中线等于；推论：如果一个三角形一边上的____那么这个三角形是_______________.菱形的性质：菱形的常用判定方法：①菱形的四条边________；①四条边相等的四边形是______；②菱形的对角线互相_______，并且___②________互相垂直的平行四边形是菱形正方形的的性质：正方形的常用判定方法：①正方形的四个角都是_____，四条边都__；①有一个角是直角的菱形是正方形；②_____的两条对角线相等，并且互相垂②对角线相等的________是正方形直平分，每条对角线平分一组对角；③对角线互相垂直的_______是正方形.3.矩形、菱形、正方形的对称性与面积：①矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.S=③菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.S==④正方形是______对称图形，又是对称图形,它有______条对称轴．S=4.完成下表原四边形形状任意四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形筝形中点四边形形状结论：中点四边形的形状与原四边形的有关，若原四边形的对角线，则其中点四边形是菱形；若原四边形的对角线互相垂直则其中点四边形是；若原四边形的对角线，则其中点四边形是。【基础诊断】1．如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误．．的是（）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OC第2页（共9页）2．顺次连接正方形四边中点所得的四边形一定是（）A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形3.如图，菱形ABCD中，60B，4AB，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A．14B．15C．16D．17【精典例题】例1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5C．2.5D．2.8【点拨】：本题考查线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。例2、如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．B．C．D．【点拨】：本题考查菱形的面积两种求法、勾股定理。例3、如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．【点拨】：本题考查轴对称-最短路线问题；正方形的性质。【自测训练】A—基础训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm22．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）例1图例2图例3图ABCDO1题图BACDFE60（第3题图）第3页（共9页）A．3B．4C．5D．63．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，3cos5A，BE=2，则tan∠DBE的值是（）A．12B．2C．52D．554．下列命题中的真命题是（）A．三个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形５．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（2，2）B．（2，2）C．（-3，3）D．（3，3）二、填空题6．在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)7．如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．8.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．9．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.10．如图，已知菱形ABCD的一个内角80BAD，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BOBE，则EOA=度．三、解答题2题图FEDCBA3题图5题图10题图ABDCOE7题图8题图O2O19题图第4页（共9页）11.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．12.如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．13.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．B提升训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形'''DCAB，边''CB与DC交于点O，则四边形ODAB'的周长．．是()A．22B．3C．2D．21第5页（共9页）2．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（）A．9：4B．3：2C．4：3D．16：93.矩形ABCD中，E、F、M为AB、BC、CD边上的点，且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则EM的长为（）A．5B．25C．6D．264.如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）A．8B．4C．8D．65.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有()个A．2B．3C．4D．5二、填空题6.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。7.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC．BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=．8.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是.9.已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则MCAM的值是。10.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是________cm.1题图OC'B'D'DCBA3题图4题图2题图6题图10题图7题图第6页（共9页）三、解答题11.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．12.如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG=4，求BE的长．13.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．第7页（共9页）BAD5题图C【08—13济南】1.（08济南）如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是__________.2．(09济南)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点Ｏ作OEAC交AD于E，则AE的长是()A．1.6B．2.5C．3D．3.43.(10济南）如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为（）A．12B．22C．32D．14.(10济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有()A．2个B．3个C．4个D．5个5.(11济南)如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2B．23C．4D．436.(11济南)如图，点M为正方形ABCD对角线BD上一点，分别连接AM、CM.求证：AM=CM.7.（12济南）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组邻边相等的四边形是菱形C．四个角是直角的四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形8.（12济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上1题图DNABCMO3题图ABCDPE4题图2题图第8页（共9页）ABCD第11题图l1l2l3l4运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．21B．5C．1455D．529.（12济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．10.（12济南）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=23，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；③转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．11.（13济南）已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tan的值等于A．23B．34C．43D．3212.（13济南）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，求AC的长.8题图9题图ABDCO第12题图第9页（共9页）13.（13济南）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝67.5°，△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点（不与点A，C重