第25讲微积分基本定理2009

《数学分析I》第25讲教案1第25讲微积分学基本定理定积分计算（续）授课题目微积分学基本定理定积分计算（续）教学内容1.变上限的定积分；2.变上限的定积分的求导法则；3.原函数存在定理；4.微积分学基本定理；5.定积分的换元积分法；6.定积分的分部积分法.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好掌握变上限的定积分的概念，熟练掌握变上限的定积分的求导法则、定积分的换元积分法和分部积分法，理解原函数存在定理.教学重点及难点教学重点：变上限的定积分的求导法则、定积分的换元积分法和分部积分法；教学难点：原函数存在定理.教学方法及教材处理提示(1)复习并小结积分的基本性质，补充一些例题.(2)在讲授变上限的定积分是上限变量的函数时，先通过简单的连续函数变上限定积分的计算，帮助学生理解变上限的定积分的概念.(3)变上限的定积分的求导法则并不难，在老师的启发和指导下，由学生自己给证明过程.此时还需要补充几道相关例题（如函数单调性证明，函数的极限计算等等），确实使学生能熟练掌握变上限的定积分的求导法则.(4)微积分学基本定理是本讲的重点，也全书的重点内容.要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论，深刻理解定理内涵和意义．(5)着重讲清定积分的换元积分法和分部积分法与不定积分方法的关系，但定积分的换元积分法的内容极其丰富，应通过大量例题的讲解使学生达到熟练掌握，课后要布置一定数量的习题．作业布置作业内容：教材229P:2，3（1，2），4（1，3，6，7），5（2），7（1），10.讲授内容一、变限积分与原函数的存在性设f在ba,上可积，根据定积分的性质4，对任何bax,，f在xa,上也可积.于是，由,dttfxxabax,（1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分：,dttfxbxbax,.与统称为变限积分.注意：在变限积分中，不可再把积分变量x写成dxxfxa，以免与积分上、下限的x相混淆.由于,dttfdttfxbbx因此，只讨论变上限积分.定理9.9若f在ba,上可积，则由(1)式所定义的函数在ba,上连续．证：对ba,上任一确定的点x，只要baxx,，按定义式(1)有.dttfdttfdttfxxxxaxxa因f在ba,上有界，可设batMtf,,．于是，当0x时有《数学分析I》第25讲教案2;xMdttfdttfxxxxxx而当0x时，有xM．由此得到,0lim0x即证得在点x连续．由x的任意性，在ba,上处处连续．定理9.10(原函数存在定理)若f在ba,上连续，则由(1)式所定义的函数在ba,上处处可导，且.,,baxxfdttfdxdxxa证：对ba,上任一确定的x，当0x且baxx,时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有.10,1xxfdttfxxxxx由于f在点x连续，故有.limlim00xfxxfxxxx由x在ba,上的任意性，证得是f在ba,上的一个原函数．本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f为连续函数时，它的任一原函数F必满足.CdttfxFxa若在此式中令ax，得到aFC，从而有).()(aFxFdttfxa再令bx,有).()(aFxFdttfba这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.二、换元积分法与分部积分法定理9.12(定积分换元积分法)若函数f在ba,上连续，在,上连续可微，且满足,,,,tbtaba，则有定积分换元公式：dtttfdxxfba证：由于等式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F是f在ba,上的一个原函数，由复合函数微分法ttfttFtFdtd，可见tF是ttf的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得aFFdtttfdxxfaFbFba注：从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数.《数学分析I》第25讲教案3注：如果在定理9.12的条件中只假定f为可积函数，但还要求是单调的，那么结论仍然成立.（本节习题第14题）例计算.1102dxx解：令txsin，当t由0变到2时，x由0增到1，故取.2,0,应用换元公式，并注意到在第一象限中0cost，则有tdttdttdxx202202102coscossin1120202sin21212cos121ttdtt.4例2计算202.cossintdtt解：令,sin,costdtdxtx当t由0变到2时，x由1减到0，则有.31cossin102200122dxxdxxtdtt例3计算.11ln102dxxxJ解：令txtan，当t从0变到4时，x从0增到1.于是由公式（9）及21xdxdt得到dttttdttJ4040cossincoslntan1lndttt40cos4cos2ln.cosln4cosln2ln404040dttdttdt对最末第二个定积分作变换tu4，有dtt404cosln4004,coslncoslnududuu它与上面第三个定积分相消．故得.2ln82ln40dtJ事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．定理9.13(定积分分部积分法)若xvxu,为ba,上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：.dxxvxuxvxudxxvxubababa《数学分析I》第25讲教案4证：因为uv是vuvu在ba,上的一个原函数，所以有dxxvxuba+dxxvxubadxxvxuxvxubabaxvxu.为方便起见，公式写成xdvxubabaxvxu.xduxvba例4计算.ln12xdxxe解：dxxxxxxdxdxxeeee12131312ln31ln31ln.129131313133exee例5计算dxxn20sin和.,2,1,cos20nxdxn解：当2n时，用分部积分求得202220120cossin1cossinsinxdxxnxxxdxJnnnnxdxnxdxnnn20202sin1sin1.112nnJnJn移项整理后得到递推公式：.2,12nJnnJnn由于,1sin,2201200xdxJdxJ重复应用递推式便得.!!12!!21321222122,2!!2!!122212232212122mmmmmmJmmmmmmJmm令tx2，可得.sin2coscos200220xdxdttxdxnnn三、泰勒公式的积分型余项dttxtfnxRnnxxn10!1，这就是泰勒公式的积分型余项．dttxfnxRnxxnn01!1101!11nnxxfn，这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项，其中10,00xxx．xRn,1!110001nnnxxxxxfn.10为泰勒公式的柯西型余项.xRn.10,1!111nnnxxfn注：各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.