第2单元代数式

1初三数学第一轮总复习教案第二单元代数式【考纲解读】大纲要求：1.了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值；2.理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；3.掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算；4.能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）进行运算；5.掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。6.理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。7.了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。8.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；9.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；10.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。知识要点：1．代数式的有关概念．(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．(3)代数式的分类2．整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析(3)多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个2字母升幂排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．(4)同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即xbabxax)(其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。3．整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：(i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．(ii)合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质：),,0(),(是整数是整数nmaaaanmaaanmnmnmnm多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：.))((,2)(,))((,)())((332222222babababababababababaabxbaxbxax(3)整式的乘方单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：)()(),,()(是整数是整数nbaabnmaannnmnnm多项式的乘方只涉及.222)(,2)(2222222cabcabcbacbabababa4.多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：(1)提公因式法3如多项式),(cbamcmbmam其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．(2)运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222babababababababababa写出结果．(3)十字相乘法(*)对于二次项系数为l的二次三项式,2qpxx寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则);)((2bxaxqpxx对于一般的二次三项式),0(2acbxax寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则).)((22112cxacxacbxax5．分式的有关概念设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子BA就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简6.分式的基本性质,MBMABAMBMABA（M为不等于零的整式）7.分式的运算(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．bdbcaddcba(异分母相加，先通分)；;;bcadcdbadcbabdacdcba.)(nnnbaba8.零指数)0(10aa9.负整数指数).,0(1为正整数paaapp注意正整数幂的运算性质nnnmnnmnmnmnmnmbaabaaaaaaaaa)(,)(),0(,可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、n可以是0或负整数．10．二次根式的有关概念(1)二次根式式子)0(aa叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫4做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．11.二次根式的性质).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22bababababaabaaaaaaaaa12.二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．(2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即).0,0(baabba二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．【经典例题】幂的运算性质例1（1）am·an=_______（m，n都是正整数）；（2）am÷an=________（a≠0，m，n都是正整数，且mn），特别地：a0=1（a≠0），a-p=1pa（a≠0，p是正整数）；（3）（am）n=______（m，n都是正整数）；（4）（ab）n=________（n是正整数）（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．（6）完全平方公式：（a±b）2=__________．【点评】能够熟练掌握公式进行运算.答案：（1）am+n（2）am-n（3）amn（4）anbn（5）a2-b2（6）a2±2ab+b2同类项的概念例2若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得25,227mnnm解出即可答案：先求出n=3，m=-1则nm=13整式的化简与运算例3（2006年江苏省）先化简，再求值：[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x其中x=3，y=-1．5．5【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确．答案：x-y=4.5掌握因式分解的概念及方法例4分解因式：①x3-x2=_______________________;②（2006年绵阳市）x2-81=______________________;③（2005年泉州市）x2+2x+1=___________________;④a2-a+14=_________________;⑤（2006年湖州市）a3-2a2+a=_____________________.【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可.答案：（1）x2（x-1）（2）（x+9）（x-9）（3）（x+1）2（4）（a-12）2（5）a（a-1）2熟练掌握分式的概念：性质及运算例5（1）若分式233xx的值是零，则x=______．【点评】分式值为0的条件是：有意义且分子为0．（2）同时使分式2568xxx有意义，又使分式223(1)9xxx无意义的x的取值范围是（）A．x≠-4且x≠-2B．x=-4或x=2C．x=-4D．x=2（3）如果把分式2xyx中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）A．扩大10倍B．缩小10倍C．不变D．扩大2倍答案：（1）x=3（2）D（3）C因式分解与分式化简综合应用例6（2006年常德市）先化简代数式：22121111xxxxx，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义．答案：化简结果为x2+1理解二次根式的概念和性质例7（1）（2006年南通市）式子2xx有意义的x取值范围是________．【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负．（2）已知a为实数，化简31aaa．【点评】要注意挖掘其隐含条件：a0．答案：（1）x2（2）（1-a）a掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法例8（2006年海淀区）下列根式中能与3合并的二次根式为（）A．324.12..182BCD6【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．答案：B掌握二次根式化简求值的方法要领例9（2006年长沙市）先化简，再求值:若a=4+3，b=4-3，求abaabab．【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．答案：abab，值为433【巩固练习一】1．下列运算正确的是（）A．a5·a3=a15B．a5-a3=a2C．（-a5）2=a10D．a6÷a3=a22．（2006年黄冈市）下列运算正确的是（）A．2x5-3x3=-x2B．23+22=25C．（-x）5·（-x2）=-x10D.（3a6x3-9ax5）÷（-3ax3）=3x2-a53．随着新农村建设的进一步加快，湖州市农村居民人均纯收入增长迅速．据统计，2005年本市农村居民纯收入比上一年增长14.2%，若2004年湖州市农村居民纯收入为a元，则2005年农村居民人均纯收入可表示为（）A．14.2a元B．1.42a元C．1.142a元D．0.142a元4．（2006年成都市）已知代数式12xa-1y3与-3x-by2a+b是同类项，那么a、b的值分别是（）A．2222...1111aaaaBCDbbbb5．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-