第2章MATLAB矩阵及其运算

第2章MATLAB矩阵及其运算2.1变量和数据操作2.1.1变量与赋值1．变量命名在MATLAB6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。2．赋值语句(1)变量=表达式(2)表达式其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。例2-1计算表达式的值，并显示计算结果。在MATLAB命令窗口输入命令：x=1+2i;y=3-sqrt(17);z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量，分别代表代表圆周率π和虚数单位。输出结果是：z=-0.3488+0.3286i2.1.2预定义变量在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。例如，用pi表示圆周率π的近似值，用i，j表示虚数单位。预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。2.1.3内存变量的管理1．内存变量的删除与修改MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理。在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。当选中某些变量后，再单击Delete按钮，就能删除这些变量。当选中某些变量后，再单击Open按钮，将进入变量编辑器。通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。who命令只显示出驻留变量的名称，whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。2．内存变量文件利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是.mat。MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成。常用格式为：save文件名[变量名表][-append][-ascii]load文件名[变量名表][-ascii]其中，文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理。save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中。2.1.4MATLAB常用数学函数MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。函数使用说明：(1)三角函数以弧度为单位计算。(2)abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。(3)用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。(4)rem与mod函数的区别。rem(x,y)和mod(x,y)要求x,y必须为相同大小的实矩阵或为标量。2.1.5数据的输出格式MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。在一般情况下，MATLAB内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的。数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。format命令的格式为：format格式符其中格式符决定数据的输出格式2.2MATLAB矩阵2.2.1矩阵的建立1．直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。2．利用M文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。例2-2利用M文件建立MYMAT矩阵。(1)启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵：(2)把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。(3)在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。3．利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：e1:e2:e3其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调用格式为：linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。4．建立大矩阵大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。2.2.2矩阵的拆分1．矩阵元素通过下标引用矩阵的元素，例如A(3,2)=200采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如A=[1,2,3;4,5,6];A(3)ans=2显然，序号(Index)与下标(Subscript)是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。2．矩阵拆分(1)利用冒号表达式获得子矩阵①A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。②A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素。此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。(2)利用空矩阵删除矩阵的元素在MATLAB中，定义[]为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=[]。注意，X=[]与clearX不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。2.2.3特殊矩阵1．通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。例2-3分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵。(1)建立一个3×3零矩阵。zeros(3)(2)建立一个3×2零矩阵。zeros(3,2)(3)设A为2×3矩阵，则可以用zeros(size(A))建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。A=[123;456];%产生一个2×3阶矩阵Azeros(size(A))%产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵例2-4建立随机矩阵：(1)在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。(2)均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。2．用于专门学科的特殊矩阵(1)魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。例2-5将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5)(2)范得蒙矩阵范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩阵。(3)希尔伯特矩阵在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。例2-6求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。命令如下：formatrat%以有理形式输出H=hilb(4)H=invhilb(4)(4)托普利兹矩阵托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x,y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。例如T=toeplitz(1:6)(5)伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命令：p=[1,0,-7,6];compan(p)(6)帕斯卡矩阵我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。例2-7求(x+y)5的展开式。在MATLAB命令窗口，输入命令：pascal(6)矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。2.3MATLAB运算2.3.1算术运算1．基本算术运算MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。(1)矩阵加减运算假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。(2)矩阵乘法假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。(3)矩阵除法在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.10005.0000]。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。(4)矩阵的乘方一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要求A为方阵，x为标量。2．点运算在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。2.3.2关系运算MATLAB提供了6种关系运算符：(小于)、=(小于或等于)、(大于)、=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。关系运算符的运算法则为：(1)当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。(2)当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。(3)当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较