第2章乘法公式与因式分解

§2、1平方差公式教学目标（一）知识与技能1．经历探索平方差公式的过程．2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．（二）过程与方法1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．2．培养学生观察、归纳、概括的能力．（三）情感态度与价值观在计算过程中发现规律总结规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．教学重点平方差公式的推导和应用．教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学过程:一、提出问题，创设情境思考：你能用简便方法计算下列各题吗？（1）2001×1999（2）998×1002二、导入新课计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．（学生通过自学探究合作学习后解决）三、学习过程例1：运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）例2：计算：（1）102×98（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22（a+b）（a-b）=a2-b2同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？[生]（进行合作交流后由各小组轮流发言）我觉得应注意以下几点：（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．（4）运算的最后结果应该是最简才行．[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成下面小测．优胜组选派一名代表做总结发言．四、课堂小测出示投影片：计算：（1）（a+b）（-b+a）（2）（-a-b）（a-b）（3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2）（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）五、反馈纠正找出错误原因，自行重新做一遍，组长提供变式训练六、小结（学生总结，教师点评）通过本节学习我们掌握了如下知识．（1）平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．（2）公式的结构特征①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．2.2完全平方公式教学目标：1.经历探索完全平方公式的过程，进一步培养符号感和推理能力。2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单计算。教学重点与难点：重点：完全平方公式的推导过程与结构特点。难点：完全平方公式的灵活应用.学习过程：一．读一读：课本第36页：1.利用多项式的乘法进行公式推导；(a+b)2=a2+2ab+b21）.公式特点：左边是两数和的平方的，右边是一个二次三项式。2）.文字描述：两数和的平方等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍。即首平方，尾平方，积的2倍在中央。3）.公式中的a,b可以表示任意的代数式。2.几何解释：如图（1），可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．3．小组讨论交流公式的特点，结合例题进行分析应用。1）找出公式中a,b所代表的代数式。2）对照公式进行计算。二．查一查：做课本第38页练习1题2题3题。学生先自己做，小组代表板演，然后小组交流。注意：1.开始练习时，步骤要求写全。2.纠正学生运算中出现的添括号与去括号的错误。强调括号的重要性。三.议一议：1.完全平方公式的推导过程是怎样的？2.完全平方公式的特点是什么？3.你在利用完全平方公式计算是易出现哪些错误？四．练一练：课本第40页习题A组第1题第3题。先由学生独立完成，部分小组代表板演，然后小组交流。教师点拨总结。五．比一比.1.2)4(yx＝______________2.222)43(cabba=_________________3.x5(）2=4210yxy4.)3)(3(baba=___________________5.2)1(xx=________________6.2)1(xx=__________________六．谈一谈：本节课你有哪些收获？1.完全平方公式的代数推导与几何解释；2.熟悉完全平方公式的特点。3.比较完全平方公式与平方差公式的异同。七、评一评以小组为单位汇总学生参与学习的情况、小组达标检测成绩，进行量化，记录在案并评出优胜小组。2.3用提取公因式法进行因式分解教学目标1．理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的区别与联系。2．知道什么是公因式，能确定一个多项式各项的公因式。3．知道什么是提公因式法，会用提公因式法把多项式进行因式分解。重点难点.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式。提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成积的形式。过程与方法目标：通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想。情感与态度目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。学习过程一、想一想：1m(a+b+c)=------------------(a+b)(a-b)=-----------------(a+b)2=----------------------2ma+mb+mc=------------a2-b2=-------------a2+2ab+b2=---------------观察你能发现它们之间的联系与区别吗？学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别。二谈一谈：1、与小学学过的因数分解与乘法之间的联系，概括，归纳得出什么是因式分解？2因式分解与整式乘法有什么关系？结论：因式分解与整式乘法正好相反。问题：你能利用因式分解与整式乘法正好相反这一关系。举出几个因式分解的例子吗？3多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式？你知道这个相同的因式怎样称呼吗？把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法叫----------------------三做一做：例1对下列多项式进行因式分解：（1）－5a2＋25a；（2）3a2－9ab；（3）25x2－16y2；（4）x2＋4xy＋4y2.例2分解因式：2x4y2－4x3y2＋10xy4。四比一比1．选择题（1）以下由左到右的变形是因式分解的是（）A．(a＋3)(a－3)＝a2－9B．y2－9＋2y＝(y＋3)(y－3)＋2yC．b2－16＝(b＋4)(b－4)D．4x＋5y＋25y2＝4x＋5y(1＋5y)（2）下列提公因式法因式分解错误的是（）A．8x2y－24xy2＝8xy(x－3y)B．ax＋bx＋ay＋by＝x(a＋b)＋y(a＋b)C．21gt12＋21gt22＝21g(t12＋t22)D．15a2＋25ab2＝5a(3a＋5b2)2．填空题（1）15a3－5a2的公因式是。（2）4a3b－6a2b2＋2a2b的公因式是。（3）分解因式：3x2y3－9x3y2＝3x2y2()。（4）分解因式：a9＋a7－2a6－3a5＝(a4＋a2－2a－3)。（5）分解因式：x2－xy＝。（6）分解因式：6a2b－15ab2＋30a2b2＝。3．把下列各式分解因式（1）ma－mb＋mc（2）8a3－12a2（3）7x2y2－21y2z（4）15xyz－5yz2（5）3m2x－3mx－6x（6）9a6x2－18a5x3－36a4x4五创新能力应用1．用提公因式分解因式（1）3am+2－12am+1（m为自然数）（2）xm+1y2＋3xmy＋2xm—12．利用因式分解计算（1）21.93×1.6＋18.4×21.93－20×21.93（2）3.14×17.7－3.14×3.5－3.14×2.53．求证：3200－4×3199＋10×3199是7的倍数吗？（提示：先因式分解、提公因式3199）六谈一谈本节课的收获2.4用公式法进行因式分解学习目标：1．会用公式法进行因式分解。2．了解因式分解的步骤。学习重难点：1、重点：会用公式法进行因式分解。2、难点：熟练应用公式法进行因式分解。。突破措施:1、措施：加强学生对要分解的多项式结构特征的认识，分析各项与公式中字母的对应关系，在反复练习中掌握用公式法进行分解因式．学法指导:1．教学方法：讲练结合法、小组探究合作．2．学生学习本节时，要注意：（1）进一步弄清因式分解与整式乘法的区别和联系。（2）分解因式时，要先观察题目的结构特征，看使用哪个公式，同时要养成及时检验的学习习惯。教材简析：课本介绍了两个公式，这两个公式都是由前面学过的公式变形得到的，学生好掌握，关键是学生对要分解的多项式结构特征的认识，能分析各项与公式中字母的对应关系，课本给出了两个例题，要重视例题步骤的书写，“挑战自我”能够加深学生对完全公式的理解，对今后学习一元二次方程等内容做好铺垫。学习过程：一、探讨新知：1、（a+b）(a-b)=用语言叙述为2、(a+b)2=用语言叙述为把这两个公式反过来，就得到（1）（2）把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。二、典例探讨例1：把下列各式进行因式分解:（1）4x2-25(2)16a2-1/9b2解：(1)4x2-25=(2x)2-52=(2x+5)(2x-5)(2)16a2-1/9b2==要求：完成填空，你能用乘法检验做的对错吗？试试看。思考：（1）遇到例1题型时，使用哪个公式，注意什么事项?例2：把下列各式进行因式分解:(1)25x2+20x+4(2)9m2-3mn+1/4n2解：(1)25x2+20x+4=(5x)2+2ⅹ5xⅹ2+22(为什么这样变形？)=(5x+2)2[教学要点]引导学生观察原式,启发他们发现第一步,可以用公式法分解因式了。学生自己完成（2），然后总结一下学例题的收获。(2)9m2-3mn+1/4n2==三、巩固练习[课堂练习一]课本44页练习1、2[课堂练习二]用公式法进行因式分解：（1）-16+9x2（2）x2-6x+9(3)m2+2/3mn+1/9n2[课堂练习三]下列各式是不是完全平方式？2224444yxxaa22224124babababa25.09622aaxx四、挑战自我1、多项式4x2-x加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？多项式0.25x2+1呢？五、课堂小结谈谈你学到的知识。六、自我检测用公式法分解因式：（1）64m2-25n2(2)a2b2-0.25c2(3)-x2+81y2(4)(x+y)2-6(x+y)+9七、布置作业：课本46页第1题。2.4用公式法进行因式分解（2）教学目标1、会用公式法进行因式分解；2、了解因式分解的一般步骤。重点难点：综合运用平方差公式、完全平方公式分解因式。学会根据题目的结构特点，灵活选择公式。课时：两课时教学过程：活动一：做一做例3:分解因式：（1）(x+2y)2－(x－2y)2（2）9（a－b