第2章习题解c

2-23如本题图所示，将质量为m的小球用细线挂在倾角为的光滑斜面上。求(1)若斜面以加速度a沿图示方向运动时，求细线的张力及小球对斜面的正压力；(2)当加速度a取何值时，小球刚可以离开斜面？解:(1)小球沿水平方向加速，表明作用于其上外力的垂直方向分量为零，即mgNTcossin,又小球水平方向的运动方程为maNTsincos.联立解上述两方程得)cossin(agmT,)sincos(agmN.(2)小球刚可以离开斜面，表明此时N=0;由上述第二式可得gctga.2-24一辆汽车驶入曲率半径为R的弯道。弯道倾斜一角度，轮胎与路面之间的摩擦系数为．求汽车在路面上不作侧向滑动时的最大和最小速率。解:车子驶慢时,就有侧向下滑的趋势，最小速率vmin应与向心力和最大摩擦力有关，相应的式子为:mgfNrsincos,RvmfNr2mincossin,Nfr;由此解得tgtgv1sincoscossinmin.车子驶快时,就有侧向往上滑的趋势，最大速率vmax应与向心力和最大摩擦力，相关的式子为:mgfNsincos,kvmfN2maxcossin,Nf;联立解得tgtgv1sincoscossinmax.2-25质量为m的环套在绳上，m相对绳以加速度a’下落。求环与绳间的摩擦力。图中M、m为已知。略去绳与滑轮间的摩擦，绳不可伸长。解:按题意摩擦力与绳的张力相等，于是有)'(aamfmgr,MafMgTMgr;由此解得)'2(agmMMmfr2-26升降机中水平桌上有一质量为m的物体A，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m的物体B相连。当升降机以加速度a=g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到A、B两物体的加速度分别是多少？(略去各种摩擦，线轻且不可伸长。)解:(1)从机内看:maT,maTmgmg2/;由此解得ga4/3.(2)从地面上的人看:对A有TmaAx,2/gaAy;对B有0Bxa,mgTmaBy.总之,有gagaByAx2/14/3,gaaByBx4/10.2-27如本题图所示，一根长l的细棒，可绕其端点在竖直平面内运动，棒的一端有质量为m的质点固定于其上。(1)试分析，在顶点A处质点速率取何值，才能使棒对它的作用力为0?(2)假定m=500g,l=50.0cm，质点以均匀速度v=40cm/s运动，求它在B点时棒对它的切向和法向的作用力。解:(1)由运动方程lvmmgTn2,dtdvmTt可知,若要0tnTT;则必须glv.(2)由运动方程0dtdvmmgNt,lvmNn2可知,切向力和法向力为NlvmNNmgNnt16.01050)1040(105009.48.9105002223232-28一条均匀的绳子，质量为m，长度为l，将它拴在转轴上，以角速度旋转，试证明：略去重力时，绳中的张力分布为)(2)(222rllmrT，式中r为到转轴的距离。解:在r处的张力T等于从r到l这一段绳子作圆周运动所需的向心力,对dr这一段,所需向心力为:rdrlmrdmdT22;积分之可得,绳中的张力分布为)(2)(2202rllmdTrTr.2-29在顶角为2的光滑圆锥面的顶点上,系一劲度系数为k的轻弹簧，下坠一质量为m的物体，绕锥面的轴线旋转。试求出使物体离开锥面的角速度和此时弹簧的伸长。解:当物体对锥面的正压力N=0时，物体离开桌面。此时物体的运动方程和所受的力分别为202sin)(sinllmmrf,lkf,和mgfcos.由此可得mgklkgcos0,coskmgl.2-30抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为y=ax2，a为常数。小环套于弯管上。求(1)弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。(2)若为圆形光滑弯管，情形如何？解:(1)小环的受力和运动方程为mgNcos,2sinmxmaNn,axytg2'(式中Ｎ为弯管对小环的正压力，θ为弯管切线与ｘ轴的夹角);由此解得ag2.(2)由上述运动方程可见，相对弯管静止的位置（平衡位置）应满足关系mgmxNN2cossin,即xgtan.对于轨迹为222)(RRyx的圆，有yRxy'tan;代入上式得yRg.由此可见，不存在与ｙ（或ｘ）无关的平衡点。2-31在加速系中分析2—25题。解:以加速的考绳子作为参系，则Ｍ除受重力Mg和绳子的张力（等于ｍ和绳的摩察力）fr外，还受到惯性力-Ma的作用，因Ｍ相对静业，故其平衡方程为0)(MafMgr;此外，ｍ受到重力mg、摩擦力fr和惯性力-ma的作用，获得的相对加速度为a’，故其运动方程为')(mamafmgr;由此可解得与2-25题同样的结果：)/()'2(mMagmMfr2-32在加速系中分析2—26题。解:从机内看，存在惯性力)2/(gm，故运动方程为：maT,maTmgmg2/;由此解得ga4/3.2-33在加速系中分析2—30题。解:在转动系中，存在惯性离心力2mx，小环相对静止，由合力为零即可求得同样的结果。2-34列车在北纬30自南向北沿直线行驶，速率为90km/h，其中一车厢重50t。问哪一边铁轨将受到车轮的旁压力。该车厢作用于铁轨的旁压力等于多少？解:由科里奥利力公式vmfc2,知此力作用在铁轨的东边﹔大小为Nmvfc91216060242606010901050230sin233