第2章刚体定轴转动

第2章刚体定轴转动一、选择题1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C)二、填空题(1).v≈15.2m/s，n2＝500rev/min(2).62.51.67ｓ(3).g/lg/(2l)(4).5.0N·m(5).4.0rad/s(6).0.25kg·m2(7).Ma21(8).mgl21参考解：M＝Md＝mglrrlgml21d/0(9).212mRJmrJ(10).lg/sin3三、计算题1.有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量221mRJ，其中m为圆形平板的质量）解：在r处的宽度为dr的环带面积上摩擦力矩为rrrRmgMd2d2总摩擦力矩mgRMMR32d0故平板角加速度=M/J设停止前转数为n，则转角=2n由J/Mn4220可得gRMJnπ16/3420202.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为221MR，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程mMR对物体：mg－T＝ma①对滑轮：TR=J②运动学关系：a＝R③将①、②、③式联立得a＝mg/(m＋21M)∵v0＝0，∴v＝at＝mgt/(m＋21M)3.为求一半径R＝50cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m1＝8kg的重锤．让重锤从高2m处由静止落下，测得下落时间t1＝16s．再用另一质量m2=4kg的重锤做同样测量，测得下落时间t2＝25s．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得TR－Mf＝Ja/R①mg－T＝ma②h＝221at③则将m1、t1代入上述方程组，得a1＝2h/21t＝0.0156m/s2T1＝m1(g－a1)＝78.3NJ＝(T1R－Mf)R/a1④将m2、t2代入①、②、③方程组，得a2＝2h/22t＝6.4×10-3m/sT2＝m2(g－a2)＝39.2NJ=(T2R－Mf)R/a2⑤由④、⑤两式，得J＝R2(T1－T2)/(a1－a2)＝1.06×103kg·m24.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－k(k为正的常数)，求圆盘的角速度从0变为021时所需的时间．解：根据转动定律：Jd/dt=-k∴tJkdd两边积分：ttJk02/dd100得ln2=kt/J∴t＝(Jln2)/k5.某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n1转动，他的两手各拿一个质量为TMRTmgaTRTmgm的砝码，砝码彼此相距l1(每一砝码离转轴21l1),当此人将砝码拉近到距离为l2时(每一砝码离转轴为21l2)，整个系统转速变为n2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)解：(1)将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W等于系统动能之增量：W＝Ek＝212210222204)21(214)21(21nmlJnmlJ这里的J0是没有砝码时系统的转动惯量．(2)过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：2(J0＋2121ml)n1=2(J0＋2221ml)n2∴1222212102nnnlnlmJ(3)将J0代入W式，得2221212llnmnW6.一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．(2)经过多少时间后，圆盘停止转动．(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为221MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)解：(1)以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的角动量守恒．mv0R＝(21MR2＋mR2)RmMm210v(2)设表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小为RfrrgrM0d2＝(2/3)gR3＝(2/3)MgR设经过t时间圆盘停止转动，则按角动量定理有－Mft＝0－J＝－(21MR2＋mR2)＝-mv0R∴MgmMgRRmMRmtf2v33/2vv000mRO0v7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧L21处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为LmLxxxxLL0202/002/30021ddvvvv式中为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为2221272141234331mLLmLmJ因碰撞前后角动量守恒，所以LmmL022112/7v∴=6v0/(7L)8.长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求：(1)细杆的质量．(2)细杆摆起的最大角度．解：(1)设摆球与细杆碰撞时速度为v0，碰后细杆角速度为，系统角动量守恒得：J=mv0l由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能2202121Jmv代入J＝231Ml，由上述两式可得M＝3m(2)由机械能守恒式mglm2021v及cos121212MglJ并利用(1)中所求得的关系可得31arccos四研讨题1.计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。参考解答：不能．因为刚体的转动惯量iimr2与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对L21L21LO0v0vOMmll过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为221mR，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴的转动惯量为零．2.刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？参考解答：根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。3.乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？参考解答：分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力Fr的方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度逐渐变小．当质心平动的速度vc=0而角速度0时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度0的大小应满足一定的关系．解题：由质心运动定理:tmFcrddv因mgFr,得gcc0vv(1)由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律IMtmRRFrdd)32(2,得gtR230(2)由(1),(2)两式可得Rccvv.023,令00；cv可得Rc23.0v这说明当vc=0和0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．