第2章定解问题

第2章定解问题1、何谓数理方程？按其描绘的物理过程，它可分为哪几类？2、何谓定解问题？它分为哪几类？试写出一维波动方程的Cauchy问题的数学表示。3、何谓定解条件？它包括哪些内容？4、何谓边界条件？它分为哪几类？一个边界需用几个边界条件来描述？5、用数理方程来研究物理问题需要经历哪几个步骤？6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界面S处的衔接条件有几个？应如何表示？7、如何导出物理模型的数理方程？在推导弦的横振动方程时采用了哪些近似？由小角度近似我们得到什么结论？8、热传导方程的扩散方程有何共同和不同之处？9、在杆的纵振动问题中，若端自由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从一物理定律出发证明吗？11、在热传导问题中，若热源密度不随时间而变化，则热传导方程会发生怎样的变化？12、在弦的横振动问题中，若弦受到了一与速度成正比的阻力，该阻力对于弦的振动问题是否起到了源的作用？若受到了一与位移成正比的回复力呢？第3章行波法1、行波法的解题要领是什么？它适合用来求解哪一类定解问题？为什么？2、一维波动方程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？3、公式是用行波法求解弦的横振动问题时推得的，能否用公式求解如下定解问题？请说明原因？4、能否用公式求解如下定解问题？5、能否用行波法求解如下定解问题？6、你能否根据直角坐标系中的导出球坐标中球对称情况下的的表达式请记住这个结论：7、何谓平均值法？你能通过引入球面的平均值，将三维的波动方程化为关于平均值的一维方程吗？8、在Poisson公式中，?若已知9、对于定解问题除了可用Poisson公式求解外？你能否有其他的求解法？10、在弦的横振动方程单位质量的弦所受的外力，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？11、冲量原理的精神是什么？12、你能否用纯强迫振动的解来求解定解问题13、试述推迟势的物理意义，在推迟势中，若，且局限于一单位球内，则其中的体积分该如何计算？14、对于定解问题按下述方法进行求解是否正确？为什么？令使由公式可求得而显然，所满足的定解问题的解为所以，原定理问题的解为第4章分离变量法1、分离变量法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表示为单元函数的乘积？2、分离变量法适于求解哪些定解问题？能用分离变量法求解无界问题吗？4、分离变量法有哪几个求解步骤？其中最关键的是哪一步？5、何谓本征值问题？以下两个定解问题是否构成本征值问题？(1)(2)6、仿照上章用冲量原理求解无界弦的纯迫振动的思想和方法，你能否写出用冲量原理求有界弦的纯强迫振动的公式？7、在将边界条件齐次化时，为什么通常可选辅助函数为X的一次式，而当问题的两个端点均有第二类边界条件时，必须选辅助数为X的二次式？8、在用分离变量法求解圆的Dirichlet问题时，需要将边界条件齐次化吗？为什么？9、在用分离变量法求解下述问题时，是否需将边界条件齐次化？如何齐次化？10、在柱坐标和极坐标中对分离变量，所得到的的方程为…其后为什么要注明…？它是怎样得来的？11、在扇形区域中，用分离变量法求Dirichlet问题应选择什么坐标系？所得到的的方程仍是…吗？为什么？12、在用分离变量法求解定解问题时，应如何选择坐标系？能在直角坐标系中求解吗？5章特殊函数1）勒让德多项式1、方程是什么方程？你能写出它在中的一有限解吗？2、试述Legendre方程本征值问题的提法，其本征值、本征函数是什么？3、你能证明吗？你能由和之值算出吗？4、Legendre多项式的母函数是什么？何谓母函数法？它有哪些用途？5、Legendre多项式的归一化因子是什么？模是什么？你能得到一正交归一的Legendre多项式吗？6、积分和之值分别是多少？和7、你能将用Legendre多项式表示吗？8、你能否用关系式导出递推公式9、在球坐标系中，在轴对称的情况下，△u=0的变量分离形式的解是什么？在球内的解是什么？在球外的解呢？10、什么是缔合Legendre函数？它是否一定是多项式？为什么？11、试述缔合Legendre方程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？12、缔合Legendre函数的模和归一化因子是什么？13、是否等同于？与有何关系？你能否由的正交归一性导出的正交归一性？15、何谓球函数方程？它满足下列条件的特解是什么?16、独立的l阶球函数共有多少个？17、你能用两种不同的形式，写出在球坐标系中，在非轴对称的情况下△u=0的解吗？它们对于球内和球外的具体情况，又分别是怎样的呢？2）贝塞耳函数1、方程叫什么方程？你能写出它的一有限解吗？2、何谓Bessel函数的零点？它与Bessel方程的何种本征值问题有关？有什么样的关系？3、Bessel函数的母函数是什么？当v不为整数时有无母函数？为什么？4、你能利用Bessel函数的母函数关系式推导出Bessel函数的递推公式吗？5、Bessel函数有无微分表达式？若有，试写出；若无，说明为什么？6、什么是三类柱函数？它们是否均满足Bessel方程？它们互相的关系是怎样的？7、第二、三类柱函数是否也满足Bessel函数递推公式？为什么？8、9、10、Bessel方程的通解是什么？其有限解是什么？11、什么是虚宗量的Bessel方程？它经过什么样的代换可变成Bessel方程？由此你能推得虚宗量的Bessel方程的一个特解吗？12、什么是虚宗量的Bessel函数和虚宗量的Neumann函数？虚宗量Bessel方程的通解是什么？13、你能完整地写出在柱坐标中对分离变量后所得到的在柱体内的分离变量形式的解吗？14、方程在柱坐标系下分离变量，在什么样的边界条件下会出现虚宗量Bessel方程？虚宗量的Bessel方程是否会构成本征值问题？15、球Bessel方程是什么样的情况下出现的？它与半整数的Bessel方程有什么关系？你能理解式给出的几个函数是球Bessel方程的特解吗？16、试述球Bessel方程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？17、你能写出在球坐标系中对所得到的分离变量形式的解吗？第6章积分变换法1、何谓积分变换法？他的解题步骤是怎样的？2、Fourier变换的定义是什么？它的存在条件是什么？你能由周期函数的Fourier级数而导出非周期函数的Fourier积分从而引入Fourier变换吗？3、试求函数的Fourier变换（a0），你能利用Fourier变换的某些性质求出和吗？其中，a为常数，t为参变量。5、Laplace变换的定义是什么？它的存在条件又是什么？对于函数（β＞0，当t＜0时），若记，并定义此时的为函数f(t)的Laplace变换，你能否推得Laplace变换的定义式和反变换式？6、试求阶跃函数的Lqplace的变换。6、试求阶跃函数的Lqplace的变换。7、Laplace变换有哪些性质？你能否由Laplace变换的定义和某些性质，依次求出函数和的Laplace变换？8、试用Fourier变换法求解定解问题由对此定解的求解，你能小结出Fourier变换法的优缺点吗？9、由Fourier变换存在的条件中“绝对可积”知常数、多项式和三角函数类的Fourier变换都是不存在的。既然如此，我们还能用Fourier变换法求解上题吗？请说明原因。10。试用Laplace变换法求解初值问题由此，请小结一下Laplace变换法的优缺点。11、在用积分变换求解数理方程的定解问题时，如何选用适当的变换？定解条件取变换的原则是什么？12、求逆变换（或原函数）有哪些途径和方法？13、仍从周期函数的Fourier积分展开式出发，你能得到Fourier变换另外的如下三种形式吗？（1）（2）（3）14、设试证明乘积定理其中，和分别是和的共轭复数。15、设你能否由上题证得的乘积定理证明能量积分（即Parseval等式）（其中，在此称为能量密度函数，记作，这可用来表示函数的能量分布规律；对所有频率积分即得的总能量第7章格林函数法1、何谓函数？在物理上它具有怎样的意义？它具有哪些主要性质？2、何谓Green函数？具体说明Dirichlet-Green函数具有怎样的物理意义？3、何谓Green函数法？它适于求解哪些定解问题？其求解步骤大致可分为哪几步？试从Poisson方程的Dirichlet问题为例进行说明。4、何谓电像法？试举一具体实例来说明用电像法求Dirichlet-Green函数的基本思想的步骤。5、球域内和球域外的Dirichlet-Green函数其形式是否一样？为什么？上半空间和下半空间的呢？上半空间和左半空间的呢？6、在教材中曾由三维空间的Green第二公式出发导出了三维的Dirichlet积分式，试利用三维空间的Green第二公式导出二维空间的Dirichlet积分公式。7、在教材中由电像法得了球域的Dirichlet-Green的函数即指导书的（2.5.34）式，试用电像法求出圆域的Dirichlet-Green函数。8、在教材中由三维的Dirichlet积分公式出法推得了球内（外）的Poisson积分式，你能否由二维的Dirichlet积分式出发推得圆内（外）的Poisson积分公式。9、你能写出如下定解问题的积分公式及其它们所含的Green函数分别满足的定解问题吗？（1）（2）（3）（4）进而，你可否小结一下由Green函数法求解数理方程定解问题的步骤？11、试分别用分离变量法和Green函数法求解圆的Dirichlet问题其中，A为常数，与分离变量法相比，由此你能否小结一下Green函数法的优缺点？