第2章平稳随机过程1

21第2章平稳随机过程2．1平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。随机过程)(tX，当t变化时，得一系列随机变量：)(1tX，)(2tX，……)(ntX。)(tX具有“平稳”性，是指)(itX的变化稳定，不“大起大落”，各)(itX具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。在统计学中，)(1tX，)(2tX，……)(ntX往往假设满足“独立同分布”（iid）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。2．1．1严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程)(tX的n维概率密度（或n维分布函数）),,,(2121nnXtttxxxp不随时间起点选择不同而改变。即：对任何n和，过程)(tX的概率密度满足：),,,(),,,(21212121nnXnnXtttxxxptttxxxp则称)(tX为严平稳过程。二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程)(tX的一维概率密度与时间无关；严平稳过程)(tX的二维概率密度只与1t、2t时间间隔12tt有关。证明：当n＝1时，对任何，有),(),(1111txptxpXX。取1t，则有)()0,(),(),(),(111111111xpxpttxptxptxpXXXXX。当n＝2时，对任何，有),,,(),,,(21212121ttxxpttxxpXX。取1t，12tt，则),,(),0,,(),,,(2112212121xxpttxxpttxxpXXX。三、严平稳过程的数字特征（1）若)(tX是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。22证明：XXXXmdxxxpdxtxxptXEtm)(),())(()(2222)(),())((XXXdxxpxdxtxpxtXE22)()())((XXXdxxpmxtXD（2）若)(tX是严平稳过程，则它的自相关函数),(21ttRX只是间间隔12tt的单变量的函数。证明：212121212121),,,())()((),(dxdxttxxpxxtXtXEttRXX＝)(),,(212121XXRdxdxxxpxx2．1．2宽平稳过程引言：要证明一个过程是严平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。一、定义若随机过程)(tX的数学期望为一常数，其自相关函数),(21ttRX只与时间间隔12tt有关，且它的均方值有限，即：XmtXE))(()())()((),(2121XXRtXtXEttR))((2tXE则称)(tX为宽平稳过程（或广义平稳过程）。二、举例：例1设随机过程)cos()(0tatX，a与0为常数，为在)2.0(上均匀分布的随机变量，证明)(tX是平稳过程。证明：))(()(tXEtmX＝dptataE)()cos()]cos([2000＝021)cos(200dta))()((),(),(21tXtXEttRttRXX＝dtata21))(cos()cos(020023＝)()cos(2)2)2cos(21)cos(202200002XRadta2)0cos(2),())((2022aattRtXEX可见，)(tX是宽平稳过程。例2，设YtX)(1，tYtX)(2，式中Y是随机变量，讨论)(1tX、)(2tX的平稳性。解：)(1tX是平稳过程，因为：YXmYEYEtXEtm)()())(()(112221)(),(1YXYEttR)(2tX不是平稳过程，因为：YXmtYtEtYEtXEtm)()())(()(222212212121)()(),(2YXttYEttYtYtEttR例3设随机过程)2cos()(AttX，A是在)1.0(上均匀分布的随机变量，t只能取整数，证明)(tX是平稳过程。证明：))(()(tXEtmX＝daapatAtEA)()2sin()]2[sin(10＝daat10)2sin(＝0))()((),(),(21tXtXEttRttRXX＝dataat))(2sin()2sin(10＝000,5.0))]2(2cos()2[cos(2110dataa2．2遍历性过程引言：在实用中，如何求)(tX的数字特征？以t为自变量，)(tX是一曲线族。对)(tX的测量（考查）时，严格意义上讲，无法同时得到多条曲线。问题：只获得一条曲线时，能否准确得到)(tX的数字特征？2..2.1遍历性过程定义一、随机过程的时间均值、时间自相关函数24)]([tXE的含义是：当t固定时，)]([tXE是随机变量)(tX的均值。当t变动时，相对于时间t的均值如何求？在时间],[TT，以NTt2为时间间隔，等间距的抽取N个点titi)1(（Ni,,2,1），得)(1tX，)(2tX，……)(NtX，其平均值为TTNNiiNiidttXTttXTtXN)(21)(21)(111在随机过程)(tX沿整个时间轴的两种时间平均TTTdttXTtX)(21lim)(TTTdttXtXTtXtX)()(21lim)()(分别称为时间均值和时间自相关函数。)(tX与)()(tXtX都是随机变量。二、遍历性过程定义设)(tX是平稳过程，若)(tX满足：（1）XmtXEtX))(()(以概率1成立，则称)(tX的均值具有各态遍历性。（2）)())()(()()(XRtXtXEtXtX以概率1成立，则称)(tX的自相关函数具有各态遍历性。（3）当0时，)0())()(()()(XRtXtXEtXtX以概率1成立，则称)(tX的均方值具有各态遍历性。如果)(tX的时间均值、时间自相关函数、时间均方值都具有遍历性，则称)(tX是遍历过程。2..2.2计算举例例4设随机过程)cos()(0tatX，a与0为常数，为在)2.0(上均匀分布的随机变量，讨论)(tX的遍历性。解：)(tX是遍历过程，因为：0)sin(coslim)cos(21lim)(21lim)(000TTdttaTdttXTtXTTTTTTT25TTTTTTdtttaTdttXtXTtXtX))(cos()cos(21lim)()(21lim)()(002＝)cos(202a例5YtX)(，Y是随机变量，讨论)(tX的遍历性。解，)(tX不是遍历过程，因为：YYdtTdttXTtXTTTTTT21lim)(21lim)(，而Y是随机变量，所以YtXE))((。原因分析：Y的取值与时间无关，当时间变动时，Y可能取某个随机值1yY而变动。2..2.3、随机过程具备遍历性的条件一、遍历过程必须是平稳的。（平稳过程不一定是遍历的）。二、平稳过程)(tX的均值具备遍历性的充要条件是：0])()[21(1lim202TXXTdmRTT三、平稳过程)(tX的自相关函数具备遍历性的充要条件是：0)]()()[21(1lim120211TXTdRBTT式中)]()()()([)(111tXtXtXtXEB四、对于正态平稳过程，若均值为0，自相关函数)(XR连续，此过程具备遍历性的一个充要条件是：dRX0)(。2．3随机过程统计特征的实验研究方法引言：遍历过程的有一个很实际的意义：用时间均值来代替随机变量的均值，即用一个历程（一次样本函数）来获取数学期望、自相关、均方值等数字特征。在具体的工程应用中，需要等间距离散采样，获取的是离散随机数据，具体如下：以单位时间为时间间隔，等间距的抽取N个点，得N个随机变量)1(X，)2(X，……)(NX，或记为1X，2X，……NX。在工程应用中，得到的是一组样本值1x，2x，…,Nx.26利用1x，2x，…,Nx来计算随机过程的统计特征，是工程中常用的方法。2.3.1、均值估计)(tX具有遍历性，XmtXE))((，用时间均值)(tX来估计Xm：NiiXxNtXm11)(ˆXmˆ是Xm的无偏估计，也是极大似然估计。XNiiXmxENmE1)(1)ˆ(2.3.2、方差估计)(tX具有遍历性，XmtXE))((已知方差2))((XtXD的估计为：NiXiXmxN122][1ˆ此估计是极大似然估计，是无偏估计。XmtXE))((未知，方差2X的估计为：NiXiXmxN122]ˆ[1ˆ此估计是渐近无偏估计。2.3.2、自相关估计按定义，)()(kiiXXXEkR。NiiXxNR121)0(ˆkNikiiXxxNkR11)(ˆ)(ˆkRX是)(kRX的渐近无偏估计。27)()1()](ˆ[kRNkkREXX