第2章数列§2.3等差数列的前n项和(二)

§2.3等差数列前n项和(二)对点讲练一、已知前n项和Sn，求an例1已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.分析利用数列的通项an与前n项和Sn的关系an＝S1(n＝1)Sn－Sn－1(n≥2).解当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.又∵a1＝－1，适合an＝4n－5，∴an＝4n－5(n∈N*)．总结已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．►变式训练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求an.解当n＝1时，a1＝S1＝3＋b.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1因此，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1.当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1，∴an＝3＋b(n＝1)2·3n－1(n≥2).综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b(n＝1)2·3n－1(n≥2).二、等差数列前n项和最值问题例2在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．解方法一利用前n项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋172×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.方法二先求出d＝－2，因为a1＝250，由an＝25－2(n－1)≥0，an＋1＝25－2n≤0，得n≤1312，n≥1212.所以当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.方法三由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－20，又因为a10，所以a130，a140，故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.总结在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．►变式训练2等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？解方法一由S9＝S12，得d＝－110a1，由an＝a1＋(n－1)d≤0an＋1＝a1＋nd≥0，得1－110(n－1)≥01－110n≤0，解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二由S9＝S12，得d＝－110a1，由Sn＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋a1－d2n，得Sn＝－120a1·n2＋2120a1·n＝－a120n－2122＋44180a1(a10)，由二次函数性质可知n＝212＝10.5时，Sn最小．但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．三、已知{an}为等差数列，求{|an|}的前n项和例3已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解由S2＝16，S4＝24，得2a1＋2×12d＝16，4a1＋4×32d＝24.即2a1＋d＝16，2a1＋3d＝12.解得a1＝9，d＝－2.所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝－n2＋10n(n≤5)，n2－10n＋50(n≥6).总结等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．►变式训练3数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n5时，an0；当n＝5时，an＝0；当n5时，an0.∴当n5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝2·(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.∴Sn＝9n－n2，(n≤5)n2－9n＋40，(n5).课堂小结：1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a10，d0，an≥0，an＋1≤0时，Sn取得最大值；当a10，d0，an≤0，an＋1≥0时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．课时作业一、选择题1．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S9S10B．S9＝S10C．S11S10D．S11＝S10答案B解析由已知得d＝a15－a215－2＝1，∴a1＝－9，∴a10＝a1＋9d＝0，∴S10＝S9＋a10＝S9.2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5ak8，则k为()A．9B．8C．7D．6答案B解析由an＝S1，n＝1Sn－Sn－1，n≥2，∴an＝2n－10.由52k－108，得：7.5k9，∴k＝8.3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A.310B.13C.18D.19答案A解析方法一S3S6＝3a1＋3d6a1＋15d＝13⇒a1＝2d，S6S12＝6a1＋15d12a1＋66d＝12d＋15d24d＋66d＝310.方法二由S3S6＝13，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以S6S12＝310.4．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是()A．Snna1nanB．Snnanna1C．na1SnnanD．nanSnna1答案C解析由an＝S1(n＝1)Sn－Sn－1(n≥2)，解得an＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，∴nan＝5n－4n2，∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)0.Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n0.∴na1Snnan.5．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S6，S6＝S7S8，则下列结论错误的是()A．d0B．a7＝0C．S9S5D．S6与S7均为Sn的最大值答案C解析由S5S6，得a6＝S6－S50.又S6＝S7⇒a7＝0.由S7S8⇒a80，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)0.二、填空题6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n(n∈N*)，则通项an＝________.答案2n－27．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．答案5或6解析d0，|a3|＝|a9|，∴a30，a90且a3＋a9＝0，∴a6＝0，∴a1a2…a50，a6＝0,0a7a8….∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．8．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.答案10解析由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.由Sn＝n(a1＋an)2＝31n2＝155，得n＝10.三、解答题9．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和．(1)证明f(x)＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，∴an＝3n－8，∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．(2)解bn＝|3n－8|.当1≤n≤2时，bn＝8－3n，b1＝5.Sn＝n(5＋8－3n)2＝13n－3n22.当n≥3时，bn＝3n－8，Sn＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n－8)＝7＋(n－2)(1＋3n－8)2＝3n2－13n＋282.∴Sn＝13n－3n22(1≤n≤2)，3n2－13n＋282(n≥3).10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S120，S130.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解(1)根据题意，有：12a1＋12×112d0，13a1＋13×122d0，a1＋2d＝12，整理得：2a1＋11d0，a1＋6d0，a1＋2d＝12.解之得：－247d－3.(2)∵d0，∴a1a2a3…a12a13…，而S13＝13(a1＋a13)2＝13a70，∴a70.又S12＝12(a1＋a12)2＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)0，∴a60.∴数列{an}的前6项和S6最大．