第2章学案11

学案11函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理1．函数零点的定义(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使y＝f(x)的值为____的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有______．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，那么函数y＝f(x)在区间________上有零点．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)无交点零点个数4.二分法对于区间[a，b]上连续不断的，且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．自我检测1．(2010·福建改编)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x0的零点为______________．2．(2010·山东省实验中学模拟)函数f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围为________________________．3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是________(填序号)．4．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，则下列说法正确的个数是________．①函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点；②函数f(x)在(3,5)内无零点；③函数f(x)在(2,5)内有零点；④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点．5．(2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．探究点一函数零点的判断例1判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．变式迁移1(1)(2011·南通调研)设f(x)＝x3＋bx＋c(b0)，且f(－12)·f(12)0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内根的个数为________．(2)(2010·烟台一模)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．探究点二用二分法求方程的近似解例2用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值．(精确到0.1)变式迁移2用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为________．探究点三利用函数的零点确定参数例3已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．1．全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·天津改编)函数f(x)＝2x＋3x的零点个数为________．2．若f(x)＝x2－x－1x≥2或x≤－11－1x2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点为______________．3．(2010·苏北四市模拟)若方程lnx－6＋2x＝0的解为x0，则不等式x≤x0的最大整数解为________．4．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是____________．5．(2010·南通二模)已知函数f(x)＝2x－1，x0－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．6．(2010·泰州期末)已知函数f(x)＝loga(2＋ax)的图象和函数g(x)＝1log(2)aax(a0，且a≠1)的图象关于直线y＝b对称(b为常数)，则a＋b＝________.7．(2010·深圳一模)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．8．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是下列四个函数中的________．(填上正确的序号)①f(x)＝4x－1；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex－1；④f(x)＝ln(x－0.5)．二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.10．(14分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．11．(16分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求证：(1)a0且－3ba－34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|574.答案自主梳理1．(1)0(2)x轴零点2.f(a)·f(b)0(a，b)3．(x1,0)，(x2,0)两个一个无自我检测1．－3和e22.a15或a－13.①③4.35.a1课堂活动区例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设f(x)＝lnx＋2x－6，∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，∴f(x)也是增函数．又∵f(1)＝0＋2－6＝－40，f(3)＝ln30，∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，∴函数在(1,3)上存在唯一零点．故函数y＝lnx＋2x－6的零点个数为1.方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．变式迁移1(1)1(2)4解析(1)∵f′(x)＝3x2＋b0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数，又f(－12)·f(12)0，∴f(x)在[－1,1]内存在唯一零点，方程f(x)＝0有唯一根．(2)由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴下边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．例2解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程．解∵f(1)＝1－1－1＝－10，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.8750，∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点．取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间[1,1.5]1.25f(1.25)0[1.25,1.5]1.375f(1.375)0[1.25,1.375]1.3125f(1.3125)0[1.3125,1.375]1.34375f(1.34375)0[1.3125,1.34375]由上表可知，区间[1.3125,1.34375]的左右端点精确到0.1所取近似值都是1.3，因此1.3就是所求函数的一个零点近似值．变式迁移21.56解析∵f(1.5625)·f(1.5562)0，且区间[1.5562,1.5625]左右端点精确到0.01所取近似值都是1.56，因此1.56即为符合要求的零点．例3解题导引函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通过方程进行研究．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点．解若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，当a＝－3＋72时，f(x)＝0的重根x＝3＋72∉[－1,1]，∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)0，即1a5时，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≥0f－1≥0，或a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≤0f－1≤0，解得a≥5或a－3－72.综上所述实数a的取值范围是a1或a≤－3－72.变式迁移3解方法一(换元)设2x＝t，则函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1化为g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．(1)当方程①有两个正实根时，a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a0t1·t2＝a＋10，解得：－1a≤2－22；(2)当方程①有一正根一负根时，只需t1·t2＝a＋10，即a－1；(3)当方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.综上可知a≤2－22.方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．(1)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0－a20g0＝a＋10，解得－1a≤2－22；(2)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a应满足g(0)＝a＋10，解得a－1；(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.综上(1)(2)(3)知a≤2－22.方法三