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阶段强化专训一：圆的基本性质总结：圆的基本性质里面主要涉及弦、弧之间的关系，圆周角、圆心角之间的关系，弦、圆周角之间的关系，弦、圆心角之间的关系，弦、弧、圆心角之间的关系等，在解此类题目时，需要根据已知条件和所求问题去探求它们之间的内在联系，从而达到解决问题的目的．弦、弧之间的关系1．下列说法：(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)在同一圆中，优弧长度大于劣弧长度；(3)在圆中，一条弦对应两条弧，但一条弧却只对应一条弦；(4)弧包括两类：优弧、劣弧．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，在⊙O中，AB︵＝2CD︵，则下列结论正确的是()A．AB2CDB．AB＝2CDC．AB2CDD．以上都不正确3．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相等，求证：AD︵＝BC︵.圆周角、圆心角之间的关系4．如图所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.弧、圆周角之间的关系5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．弦、圆心角之间的关系6．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．弦、弧、圆心角之间的关系7．(探究题)等边三角形ABC的顶点A，B，C在⊙O上，D为⊙O上一点，且BD＝CD，如图所示，判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由．阶段强化专训二：垂径定理的四种应用技总结：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出另外一个．巧用垂径定理求点的坐标1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．巧用垂径定理证明3．如图，M为⊙O内任意一点，AB为过M点且与OM垂直的一条弦．求证：AB是⊙O内过M点的所有弦中最短的一条．巧用垂径定理解决实际问题(转化思想)4．某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？[来源:学#科#网]阶段强化专训三：与圆有关的位置关系的判断方法总结：圆有关的位置关系包括点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，判断它们的关系主要有定义法、比较法、交点个数法、距离比较法等．点与圆的位置关系方法1定义法1．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD的长为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内2．点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，以2为半径的圆内，则a的取值范围为()A．－1a3B．a3C．a－1D．a3或a－1方法2比较法3．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？直线与圆的位置关系方法1交点个数法4．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．无法确定方法2距离比较法5．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4cm，以点C为圆心，4cm为半径画⊙C，试判断直线BD与⊙C的位置关系，并说明理由．6．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的取值范围．(第6题)[来源:学*科*网Z*X*X*K]阶段强化专训四：切线的证明技巧总结：关切线的证明分两种情况：一是直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”；二是直线和圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．连半径，证垂直，得切线1．(2015·武威)已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________________________或________________________．(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．(第1题)2．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD＝45°.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB＝22，求BC的长．作垂直，证半径，得切线3．(一题多解)如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．4．(2015·黔西南州)如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切．(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．阶段强化专训五：切线判定和性质的四种应用类型总结：的切线判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．应用于求线段的长1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．应用于求角的度数2．(中考·珠海)如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)求∠B的度数．应用于求圆的半径3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.应用于探究数量和位置关系4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是⊙O的切线．阶段强化专训六：巧求与圆有关的面积问题总结：解与圆有关的面积时，有时候可以直接运用公式求出，但大多数都要通过转化后求其面积，常用的方法有：作差法、等积变形法、平移法、割补法等．根据图形特点，灵活运用这些方法解题，往往会起到事半功倍的效果．利用“作差法”求面积1．如图，在⊙O中，半径OA＝6cm，C是OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分的面积．利用“等积变形法”求面积2．如图所示，E是半径为2cm的⊙O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且AB＝12CD，求阴影部分的面积．利用“平移法”求面积3．如图所示，两个半圆中，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？(第3题)利用“割补法”求面积4．如图所示，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是90°，连接AC，BD.(1)求证：AC＝BD；(2)若OA＝2cm，OC＝1cm，求图中阴影部分的面积．(第4题)[来源:学§科§网]答案阶段强化专训一1．C点拨：(1)(2)(3)正确，(4)中弧包括优弧、劣弧和半圆，所以不正确．2．C3．证明：∵AB＝CD，∴AB︵＝CD︵，∴AB︵－DB︵＝CD︵－DB︵，即AD︵＝BC︵.4．证明：在⊙O中，∠CAB、∠COB是CB︵所对的圆周角和圆心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理：∠COA＝2∠CBA.又∵∠CAB＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.5．解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°.又∵∠ADC、∠ABC是AC︵所对的圆周角，∴∠ADC＝∠ABC＝40°.6．解：BD＝DE＝EC.理由如下：连接OD，OE.∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°，∴△BOD与△COE都是等边三角形．∴∠BOD＝∠COE＝60°，∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.∴∠DOE＝∠BOD＝∠COE.∴BD＝DE＝EC.点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．7．解：四边形OBDC是菱形，理由如下：连接AD，设AD与BC交于P点，∵AB＝AC，∴AB︵＝AC︵.同理BD︵＝CD︵，∴AB︵＋BD︵＝AC︵＋CD︵，即ABD︵和ACD︵都是半圆．∴AD为⊙O的直径，即AD过圆心O.∵AB＝BC＝CA，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°.∴∠BOD＝∠COD＝60°.∴OB＝OD＝BD，OC＝CD＝DO.∴OB＝OC＝BD＝CD，∴四边形OBDC是菱形．阶段强化专训二(第1题)1．解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四边形OCDB为平行四边形，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵MN⊥CD，∴CN＝DN＝12CD＝4.∵OA＝10，∴半圆M的半径MO＝MC＝5.在Rt△MNC中，MN＝CM2－CN2＝52－42＝3.∴CH＝3，又OH＝OM－MH＝5－4＝1.∴点C的坐标为(1，3)．(第2题)2．解：如图，易知点C关于MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝72.即PA＋PC的最小值为72.点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．(第3题)3．证明：过M点任意画一条不与AB重合的弦CD，作ON⊥CD，垂足为点N，连接OB，OC，如图所示，则AB＝2BM，CD＝2CN.设OB＝OC＝R，在Rt△BOM中，BM＝OB2－OM2＝R2－OM2，在Rt△CON中，CN＝OC2－ON2＝R2－ON2.∵OM是Rt△MON的斜边，ON是Rt△MON的直角边，∴OMON.∴R2－OM2R2－ON2，即BMCN.∴ABCD，即AB是⊙O内过M点的所有弦中最短的一条．(第4题)4．解：如图，延长ME交⊙O于G.∵E、F为AB的三等分点，∠MEB＝∠NFB，∴FN＝EG，过点O作OH⊥MG于H.连接MO，可得OE＝13OA＝1，又∵∠MEB＝60°，∴OH＝32OE＝32，∴MH＝OM2－OH2＝332，∴EM＋FN＝MG＝2MH＝33.(第5题)5．解：如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA＝r米，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)米，AD＝12AB＝3.6米．在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝ON2－NH2＝3.92－1.52＝3.6(米)．所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．阶段强化专训三1．C2.A(第3题)3．解：如图，连接OR，OP，OQ.∵PD＝4cm，OD＝3cm，且OD⊥l，∴OP＝PD2＋OD2＝42＋32＝5(cm)＝r，∴点P在⊙O上；∵QD＝5cm，∴OQ＝QD2＋OD2＝52＋32＝34(cm)5cm＝r，