电动力学基础知识必备

1内内容容：：11..勒勒维维--齐齐维维塔塔记记号号22..基基本本矢矢量量运运算算公公式式33..亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理的的两两种种表表述述形形式式11..勒勒维维--齐齐维维塔塔记记号号定义勒维-齐维塔（CivitaLevi）记号ijk为：ijk+1ijk是123的偶排列(1)-1ijk是123的奇排列0ijk中有两个指标相同勒维-齐维塔记号的一个重要等式：jminjnimkmnkijk(2)22..基基本本矢矢量量运运算算公公式式22..11两两矢矢量量叉叉乘乘的的矩矩阵阵表表示示用ie、je和ke分别表示直角坐标系x、y和z轴的单位向量，则可知有如下关系成立ijijkkkeee(3)因此iijjijijijijijijkkijkijkijkijkyzzyxzxxzyxyyxzABAeBeABeeABeABeABABeABABeABABe即有xyzxyzijkABAAABBB(4)22..22三三个个矢矢量量间间的的混混合合积积和和双双重重矢矢量量积积利用标量积和矢量积的定义，可以证明两个很有用的公式：2三个矢量的混合积ABCBCACAB(5)双重矢量积ABCBACCAB(6)上述两公式的证明如下：混合积公式的证明ijkijkjkiijkjkiijkijkijkijkijkijkijkAAAABCABCeBCAeABCBBBCCC由行列式可以看出混合积对A、B和C具有轮换对称性，即有：ABCCABBCA(7)双重矢量积公式的证明jjmnkmnkjmnkmnkmnjjkjmnkmnkmnjjkiimnkmnjijkiijmnkijmnkmnkijkmnjiimjninjmmnjiijmnkijmnijjjijiiijABCAeBCeBCAeeBCAeBCAeBCAeBCAeBCABCAeBACiiiCABeBACCAB即有：ABCBACCAB(8)上式证明中用到了勒维-齐维塔记号的性质(2)式。2.3算符的线性运算性质对任意的数量场u、v以及矢量场a、b，根据算符的定义以及矢量的标量积和矢量积的分配律，容易验证算符具有如下线性运算性质：vcucvcuc2121(9)bcacbcac2121(10)bcacbcac2121(11)3式中1c、2c为任意常数。例题：求两个矢量场A、B的矢量积的散度，即求BA[解]考虑到算符的求导作用ccBABABA式中cA表示A不被作微分运算，同理cB（以后此种记号都作这样的理解）。根据矢量公式baccabcba作调整得到BABABABAABBABAccccc(12)交换A、B的顺序，由(12)式可以推出ABABABBAcc(13)于是BABAABABBABABAcc(14)推导过程说明在(12)式中的项cAB是过渡性的。之所以这么说是因为在这一步中仅考虑了矢量运算法则，而没有顾及到矢量B要被作微分运算（即B只能出现在的后面）。但是这一步对于得到最终的结果还是必要的，因此在进行具体运算时也需要把它写出来。不过它不能直接以相等的关系出现在运算过程中，所以在推导过程中我们用记号“”把它与其它项区别开来，以表示“过渡性”的含义。还要指出的是在(13)式、(14)式的最后结果中，我们把A、B的下标c都去掉了，这是因为cA、cB仅仅是用以表示A、B不被哈密顿算符作用的一种“记法”，现在既然cA、cB都已经挪到的前面去了，所以再在A、B的下面放个c就没有意义了。33亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理的的两两种种表表述述形形式式亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理表表述述形形式式之之一一：在空间有限区域内的任意一个矢量场F，由它的散度、旋度以及边界条件（即限定体4积的闭合面S上的矢量场分布）唯一确定。亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理表表述述形形式式之之二二：对于空间有限区域内的任意一个矢量场F，若已知它的散度、旋度和边界条件，则可以唯一地确定该矢量场，并可以将之表示成一个无旋场（1F）和一个无源场（AF2）之和。即AFFF21(15)其中ssdRzyxFdRzyxFzyx,,41,,41,,(16)ssdRzyxFdRzyxFzyxA,,41,,41,,(17)上面两式中，222zzyyxxR，是场点zyx,,到源点zyx,,的距离。zyxF,,代表已知的通量源密度zyx,,，zyxF,,代表已知的旋涡源密度zyxJ,,。“”和“”分别表示对zyx,,求散度和旋度。函数zyxF,,是给定的。如果矢量场F在无限远处以足够快的速度减弱至零，则式(16)和式(17)中的体积分可以扩展到整个无限大空间，并且在包围整个空间的S曲面上的0,,zyxF，这时，(16)和(17)式中的面积分项就不存在了。这时可以有：dRzyxFzyx,,41,,(18)dRzyxFzyxA,,41,,(19)zyxAzyxzyxF,,,,,,(20)上述公式中的就是有场源分布的区域。