§1.4.2正弦函数和余弦函数的性质(2)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质第二课时学习目标2.能判断正、余弦函数的单调性，并会求其单调区间．3.掌握利用正、余弦函数单调性求其最大值及最小值，并能比较其大小．1.掌握正、余弦函数对称性，会求对称轴、对称中心。正弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？x22322523O23225311x22322523O23225311回顾正弦函数和余弦函数的图像、定义域、值域以及奇偶性。53113,,,,22222…………x对称轴：,2xkkZ(,0),(0,0),(,0),(2,0)…………对称中心：(,0)kkZ一、正、余弦函数的对称性:sinyxx22322523O23225311对称轴：对称中心：一、正、余弦函数的对称性:cosyx,0,,2…………x,xkkZ35(,0),(,0),(,0),(,0)2222…………(,0)2kkZx22322523O23225311（3）任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期。说明（1）正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多条对称轴，其对称轴都是过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点垂直x轴的直线，即此时的正弦值、余弦值都为1或-1。（2）正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多个对称中心，其对称中心都是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0。x22322523O23225311sinyx例1:求函数的对称轴和对称中心:23zx解:(1)令则sin(2)sin3yxzsinyz的对称轴为,2zkkZ232xk解得:对称轴为,122xkkZ(2)sinyz的对称中心为(,0),kkZ23xk62xkzk(,0),Z62kksin(2)3yx对称中心为分析：应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元法，化归到基本的正、余弦函数的对称性。45842)452sin(5xDxCxBxAxy、、、、的一条对称轴是、例C该函数的对称中心为.（）练习k5(-,0)28kZ复习回顾：求函数的单调区间的方法：1.直接利用相关性质：2.复合函数的单调性：3.利用图象寻找函数的单调区间。同增异减复合函数的单调性：设y=f(u),u=g(x),x∈[a,b],u∈[m,n]都是单调函数，则y=f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数.⑴若y=f(u)是[m,n]上的增函数，则y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性相同；⑵若y=f(u)是[m,n]上的减函数，则y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性相反.以上规律还可总结为：“同增异减”.增区间:其值从-1增至1xyo--1234-2-31223252722325xsinx2223…0………-1010-1减区间:其值从1减至-1二、正、余弦函数的单调性:sinyxZkkk,22,22Zkkk,223,22增区间:其值从-1增至1xyo--1234-2-31223252722325xcosx-1010-1减区间:其值从1减至-1Zkkk,20,2Zkkk,2,2022-……0……cosyx二、正、余弦函数的单调性:例2:利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小:又y=cosx在上是减函数],0[)417cos()523cos(23233cos()coscos5551717cos()coscos44453403coscos45分析：先通过诱导公式把角化为同一单调区间内的角，然后利用三角函数的单调性比较大小。(1)sin()sin();1810与2317(2)cos()cos().5与解(1)：∵218102又y=sinx在上是增函数]2,2[∴sin()sin()1810解(2)：例3:求函数的单调递增区间:)321sin(xy123sinyxsinyz2222zkk1222223xkk54433kxk4,433,5kkkZy=sinz的增区间原函数的增区间解:分析：求三角函数的单调区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元法，化归到基本的正、余弦函数的单调性。1,k221711,330,k5,331,k711,33√变式1:求函数的单调递增区间:4,433,5kkkZ解答三角函数的单调性问题一定要注意复合函数的单调性法则，还要注意函数的定义域。画数轴，盖小屋由例3知A[2,2],设5{|4x4,k.}33BxkkZ—5A[,]33B易知]2,2[),321sin(xxy1[sin(),22,332]53yxx则函数的单调递区[-是,间增]。文字叙述∩1,sin23xyz令z=函数的单调递减区间是3[2,2].22kk132x2,2232kk由5114x4,k.33kkZ得11:y=sin(+)sin(),2323xx解∵变式2:求函数的单调递增区间:)321sin(xy分析：为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来511[44]k33kkZ∴原函数的单调递增区间为，最大值：Zkkx,22当时，1sinmaxmaxxy最小值：x22322523O23225311Zkkx,22当时，1sinminminxy三、探究：正弦函数的最大值和最小值:x22322523O23225311三、探究：余弦函数的最大值和最小值:最大值：Zkkx,20当时，1cosmaxmaxxy最小值：Zkkx,2当时，1cosminminxy例4.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|2,}xxkkZ使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|(21),}xxkkZ函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.cos1,yxxRcos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)例4.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：（2)令z=2x,因为使函数取最大值的z的集合是3sin,yzzR{|2,}2zzkkZ222xzk由4xk得所以使函数取最大值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ同理，使函数取最小值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ函数取最大值是3，最小值是-3。3sin2,yxxR例5:求下列函数的值域：2,0,6cos1xxy解:(1)6xz23,21coszy令2,0x32,66x32,6z画图可得例5:求下列函数的值域：)2,0(),4sin(22xxy解:(2))2,0(x)43,4(4x1,22)4sin(x2,1)4sin(2x2,1y画图可得例6:求下列函数的值域：4sin5cos212xxy解:(1)2sin5sin24sin5cos222xxxxy252,1,1sin2ttyxt则令1,145t轴9,221sinminyZkkxxt1,221sinmaxyZkkxxt1,9y画图可得xtcos21,21xcost令32,3x例6:求下列函数的值域：32,3,1cos4cos322xxxy解:(2)1cos4cos32xxy21,21,1432ttty21,2132t轴4153221cosmaxyxxt41321cosminyxxt415,41y画图可得函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性2522320xy21-1xRxR[1,1]y[1,1]y22xk时，1maxy22xk时，1miny2xk时，1maxy2xk时，1miny[-2,2]22xkk增函数3[2,2]22xkk减函数[2,2]xkk增函数[2,2]xkk减函数2522320xy1-122对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ奇函数偶函数课堂小结1：(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＜0)，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，即把x的系数化为正数，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间，或把ωx＋φ看作一个整体t，考虑函数y＝Asint(或y＝－Asint)的单调区间利用复合函数单调性判定方法，构造不等式解之．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．2、求函数y＝Asin(ωx＋φ)单调区间的方法：π2π232ππ2