电大形成性考核数学答案1

高等数学基础第一次作业点评1责任教师：许院年第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A.2)()(xxf，xxg)(B.2)(xxf，xxg)(C.3ln)(xxf，xxgln3)(D.1)(xxf，11)(2xxxg点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也相同。而与自变量或因变量所用的字母无关。⒉设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（C）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.xy点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于Y轴对称。⒊下列函数中为奇函数是（B）．A.)1ln(2xyB.xxycosC.2xxaayD.)1ln(xy点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。若)()(xfxf，则函数为偶函数；若)()(xfxf，则函数为奇函数。⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.1xyB.xyC.2xyD.0,10,1xxy点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。⒌下列极限存计算不正确的是（D）．A.12lim22xxxB.0)1ln(lim0xxC.0sinlimxxxD.01sinlimxxx点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如C，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。⒍当0x时，变量（C）是无穷小量．A.xxsinB.x1C.xx1sinD.2)ln(x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(xf在点0x满足（A），则)(xf在点0x连续。A.)()(lim00xfxfxxB.)(xf在点0x的某个邻域内有定义C.)()(lim00xfxfxxD.)(lim)(lim00xfxfxxxx点评：直接用函数在某点连续的定义判断。即函数在某点连续，则在该点的极限值等于函数值。（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是．}33{xxx或点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。⒉已知函数xxxf2)1(，则)(xf．xx2点评：正确理解函数对应关系f的含义。⒊xxx)211(lim．21e点评：两个重要极限之一稍加变形。⒋若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0x处连续，则k．e点评：用连续函数在某点连续的定义求解。⒌函数0,sin0,1xxxxy的间断点是．0x点评：因为函数在该点的函数值不等于极限值。⒍若Axfxx)(lim0，则当0xx时，Axf)(称为．无穷小量（三）计算题求极限常用的方法有：⑴利用极限的四则运算；⑵利用两个重要极限；⑶利用无穷小量的性质；⑷利用连续函数的性质。⒈设函数0,0,e)(xxxxfx求：)1(,)0(,)2(fff．解：2)2(f0)0(feef1)1(点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。⒉求函数xxy12lglg的定义域．解：欲使函数有意义，必使012lgxx，即：112xx亦即：xx12解得函数的定义域是：1x点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．点评：建立函数关系(即数学表达式)的一般步骤是：⑴分析问题中的各个量，哪些是常量，哪些是变量，从而确定自变量和因变量，并设出表示它们的字母；⑵建立适当的坐标系(若需要的话)；⑶由已知条件或题意找出变量之间的关系，建立关系式；⑷确定自变量的取值范围。解：设梯形的高CM=x，则22xRDM梯形的上底222xRDC，下底RAB2则梯形的面积2)22(22xRxRs)0()(22RxxRxR⒋求xxx2sin3sinlim0．解：原式=23112322sinlim33sinlim2300xxxxxx点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。⒌求)1sin(1lim21xxx．解：原式=2121)1sin(lim)1(lim1)1sin(1lim111xxxxxxxxx点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。⒍求xxx3tanlim0．解：311133cos1lim33sinlim33cos133sinlim33cos3sinlim0000xxxxxxxxxxxxx点评：同上。⒎求xxxsin11lim20．解：原式=010sin1lim11limsin)11()11)(11(lim0202220xxxxxxxxxxx点评：同上。⒏求xxxx)31(lim．解：原式=333131xxxxlimxx=33343343xxxxlimxx=33341341xlimxlimxxx=3341xxxlim=443341xxxlim=443341xxxlim=4e⒐求4586lim224xxxxx．解：原式=3212lim)1)(4()2)(4(lim44xxxxxxxx⒑设函数1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf的连续性，并写出其连续区间．点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数)(xf在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。解：先看函数在分段点1x处的情况，∵011)1()(limlim11xxfxx1)(limlim11xxfxx∴)()(limlim11xfxfxx，故)(lim1xfx不存在。∴1x为函数)(xf的间断点。再看函数在分段点1x处的情况，∵1)(limlim11xxfxx1)2()(211limlimxxfxx∴)()(limlim11xfxfxx，故1)(lim1xfx。又因为1)1(1xxf所以)1()(lim1fxfx故1x是函数)(xf的连续点。函数)(xf在连续区间是：),1()1,(。