电大形成性考核数学答案1

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高等数学基础第一次作业点评1责任教师:许院年第1章函数第2章极限与连续(一)单项选择题⒈下列各函数对中,(C)中的两个函数相等.A.2)()(xxf,xxg)(B.2)(xxf,xxg)(C.3ln)(xxf,xxgln3)(D.1)(xxf,11)(2xxxg点评:从函数的两要素可知:两个函数相等,当且仅当他们的定义域相同,对应规则也相同。而与自变量或因变量所用的字母无关。⒉设函数)(xf的定义域为),(,则函数)()(xfxf的图形关于(C)对称.A.坐标原点B.x轴C.y轴D.xy点评:可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数,若是奇函数就关于坐标原点对称,若是偶函数就关于Y轴对称。⒊下列函数中为奇函数是(B).A.)1ln(2xyB.xxycosC.2xxaayD.)1ln(xy点评:可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。若)()(xfxf,则函数为偶函数;若)()(xfxf,则函数为奇函数。⒋下列函数中为基本初等函数是(C).A.1xyB.xyC.2xyD.0,10,1xxy点评:基本初等函数是指:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。⒌下列极限存计算不正确的是(D).A.12lim22xxxB.0)1ln(lim0xxC.0sinlimxxxD.01sinlimxxx点评:只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量,如C,没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。⒍当0x时,变量(C)是无穷小量.A.xxsinB.x1C.xx1sinD.2)ln(x点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(xf在点0x满足(A),则)(xf在点0x连续。A.)()(lim00xfxfxxB.)(xf在点0x的某个邻域内有定义C.)()(lim00xfxfxxD.)(lim)(lim00xfxfxxxx点评:直接用函数在某点连续的定义判断。即函数在某点连续,则在该点的极限值等于函数值。(二)填空题⒈函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是.}33{xxx或点评:函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。⒉已知函数xxxf2)1(,则)(xf.xx2点评:正确理解函数对应关系f的含义。⒊xxx)211(lim.21e点评:两个重要极限之一稍加变形。⒋若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx,在0x处连续,则k.e点评:用连续函数在某点连续的定义求解。⒌函数0,sin0,1xxxxy的间断点是.0x点评:因为函数在该点的函数值不等于极限值。⒍若Axfxx)(lim0,则当0xx时,Axf)(称为.无穷小量(三)计算题求极限常用的方法有:⑴利用极限的四则运算;⑵利用两个重要极限;⑶利用无穷小量的性质;⑷利用连续函数的性质。⒈设函数0,0,e)(xxxxfx求:)1(,)0(,)2(fff.解:2)2(f0)0(feef1)1(点评:求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。⒉求函数xxy12lglg的定义域.解:欲使函数有意义,必使012lgxx,即:112xx亦即:xx12解得函数的定义域是:1x点评:函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。⒊在半径为R的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数.点评:建立函数关系(即数学表达式)的一般步骤是:⑴分析问题中的各个量,哪些是常量,哪些是变量,从而确定自变量和因变量,并设出表示它们的字母;⑵建立适当的坐标系(若需要的话);⑶由已知条件或题意找出变量之间的关系,建立关系式;⑷确定自变量的取值范围。解:设梯形的高CM=x,则22xRDM梯形的上底222xRDC,下底RAB2则梯形的面积2)22(22xRxRs)0()(22RxxRxR⒋求xxx2sin3sinlim0.解:原式=23112322sinlim33sinlim2300xxxxxx点评:正确利用两个重要极限,将函数作适当变形。⒌求)1sin(1lim21xxx.解:原式=2121)1sin(lim)1(lim1)1sin(1lim111xxxxxxxxx点评:正确利用两个重要极限,将函数作适当变形。⒍求xxx3tanlim0.解:311133cos1lim33sinlim33cos133sinlim33cos3sinlim0000xxxxxxxxxxxxx点评:同上。⒎求xxxsin11lim20.解:原式=010sin1lim11limsin)11()11)(11(lim0202220xxxxxxxxxxx点评:同上。⒏求xxxx)31(lim.解:原式=333131xxxxlimxx=33343343xxxxlimxx=33341341xlimxlimxxx=3341xxxlim=443341xxxlim=443341xxxlim=4e⒐求4586lim224xxxxx.解:原式=3212lim)1)(4()2)(4(lim44xxxxxxxx⒑设函数1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf的连续性,并写出其连续区间.点评:讨论分段函数在分段点处的连续性,只要研究函数)(xf在该点处的左右极限情况,然后再由函数连续性的定义判断。解:先看函数在分段点1x处的情况,∵011)1()(limlim11xxfxx1)(limlim11xxfxx∴)()(limlim11xfxfxx,故)(lim1xfx不存在。∴1x为函数)(xf的间断点。再看函数在分段点1x处的情况,∵1)(limlim11xxfxx1)2()(211limlimxxfxx∴)()(limlim11xfxfxx,故1)(lim1xfx。又因为1)1(1xxf所以)1()(lim1fxfx故1x是函数)(xf的连续点。函数)(xf在连续区间是:),1()1,(。

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