第一章质点运动学1-1.质点运动学方程为kjirttRtR3cossin(SI),求2t时的速度和加速度(写出正交分解式)解:kjirv3sincosddtRtRt,当2t时,kjv3R;jivatRtRtcossindd,当2t时,iaR1-2.一质点沿直线运动,其坐标x与时间t有如下关系tAxe1(SI)(A、皆为常数),求任意时刻t质点的速度和加速度。解:tAtxeddv,tAtaedd2v1-3.一质点运动的加速度为jia232tt(SI),其初始速度与初始位矢均为0,求:(1)则2st时该质点的速度;(2)该质点的运动方程。解:202200d)32(ddttttjiavvvji32tt,当s2t时,m/s84jivttrtttt03200d)(ddjivrr,运动方程为SI413143jirtt,1-4.一个质点在x轴上作直线运动,运动方程为32348xtt(SI),求:(1)任意时刻质点的速度和加速度;(2)在2st和3st时刻,质点的位置、速度和加速度;(3)在2st到3st时间内,质点的平均速度和平均加速度。(1)由速度和加速度的定义式,可求得1223sm89d843dddvttttttx22sm818d89dddvttttta(2)t=2s时,m488242323x12sm522829v,2sm448218at=3s时,m1258343323x,12sm1053839v2sm628318a,(3)1sm772348125txv,2sm532352105tav1-5一升降机以加速度a上升,在上升过程中有一螺钉从天花板上松落,升降机的天花板与底板相距为d,求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解:以地面为参照系,坐标如图,升降机与螺丝的运动方程分别为20121attvy(1)20221gttvhy(2)21yy(3)解之agd2t1-6.路灯距地面的高度为1h,一身高为2h的人在路灯下以匀速1v沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动,并求其速度2v.证明:设人从O点开始行走,t时刻人影中足的坐标为1x,人影中头的坐标为2x,由几何关系可得21122hhxxx而tvx01所以,人影中头的运动方程为021121112vhhthhhxhx人影中头的速度021122vhhhdtdxv1-7.一质点沿直线运动,其运动方程为2242ttx(m),在t从0秒到3秒的时间间隔内,则质点走过的路程为多少?解:ttxv44dd若0v解的st1mxxx22)242(011mxxx8)242()32342(2133题1-5题1-6mxxx10211-8.一弹性球直落在一斜面上,下落高度cm20h,斜面对水平的倾角30,问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等,碰撞时人射角等于反射角)。解:小球落地时速度为ghv20建立直角坐标系,以小球第一次落地点为坐标原点如图00060cosvvx200060cos2160costgtvx(1)00060sinvvy200060sin2160sintgtvy(2)第二次落地时0ygvt02所以mgvtgtvx8.0260cos2160cos2020001-9.飞机以s/m1000v的速度沿水平直线飞行,在离地面高m98h时,驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上,问:投放物品时,驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解:设此时飞机距目标水平距离为x有:tvx0221gth联立方程解得:mx44705.77arctanhx1-10.设将两物体A和B分别以初速Av和Bv抛掷出去.Av与水平面的夹角为;Bv与水平面的夹角为,试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。解:两个物体在任意时刻的速度为jivA)sin(cos0gtvv0jivBgt)-sin(cos00vv题1-8jivvvABA)sinsin()coscos(-0000Bvvvv与时间无关,故B相对物体A的速度是常矢量。1-11.一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动,物体初速为s/m0.490v,而气球以速度s/m6.19v匀速上升,问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少?物体在任意时刻的速度表达式为gtvvy0故气球中的观察者测得物体的速度vvvy代入时间t可以得到第二秒末物体速度smv8.9第三秒末物体速度0v第四秒末物体速度smv8.91-12.一飞行火箭的运动学方程为:)1ln()1(bttbuutx,其中b是与燃料燃烧速率有关的量,u为燃气相对火箭的喷射速度。求:(1)火箭飞行速度与时间的关系;(2)火箭的加速度。解:(1))1ln(ddbtutxv(2)btubtva1dd1-13.质点的运动方程为:,2,sin,costhztRytRx式中、、hR为正的常量。求:(1)质点运动的轨道方程;(2)质点的速度大小;(3)质点的加速度大小。解:(1)轨道方程为222Ryxthz2这是一条空间螺旋线(2)tRtxvxsinddtRvycos2hvz2222224hRvvvvzyx(3)tRaxcos2tRaysin20za222Raaayx1-14.一船以速率120km/hv沿直线向东行驶,另一小艇在其前方以速率215km/hv沿直Fm线向北行驶,求在船上看小艇的速率。解:依据牵连对绝对vvv相jv15对绝iv20牵连ijvvv2015牵连绝对对相km/h25201522v第二章牛顿定律2-1.如图所示,水平面上放有质量为m的物体,其与地面间的摩擦系数为,在一恒力F的作用下向右作直线运动,为使物体获得最大水平加速度,求力F与水平面的夹角。解:x轴上的合力mafFFxcosY轴上的合力0sinmgNFFyNf。推出mgFmasincos0sincosFdmad时,加速度最大,即arctan2-2.如图所示,物体A的质量为物体B的质量的一半,它们之间用一轻质弹簧相连。用一细绳将A吊在天花板上,A、B处于静止状态。若此时将细绳烧断,则在绳断的瞬间物体A和物体B的加速度。解:A、B处于静止状态时,弹簧的弹力为gmgmfAB2。细绳刚烧断时弹簧的长度尚未发生变化,因此弹力未变,物体A的受力如图,合力gmfgmFAAA3,所以加速度为gmFaAAA3;物体B的受力如图,合力0fgmFBB,所以加速度为0Ba2-3如图所示,1m和2m与地面间的摩擦系数分别是1、2,将两物体并在一起构成连体,则此连体与地面间的摩擦系数为多少?解:1m和2m一起滑动时的摩擦力gmmgmgmf212211,所以212211mmmmAB1m2m题2-3题2-1题2-22-4.已知一质量为m的质点在x轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比,即2/xkf,k是比例常数.设质点在Ax时的速度为零,求质点在4/Ax处的速度的大小。解:由题意和牛顿第二定律可得:dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxkf2再采取分离变量法可得:mvdvdxxk2,两边同时取积分,则:mvdvdxxkvAA024/所以:mAkv62-5.如图,用质量为1m的板车运载一质量为2m的木箱,车板与箱底间的摩擦系数为,车与路面间的滚动摩擦可不计,计算拉车的力F为多少才能保证木箱不致滑动?解:根据题意,要使木箱不致于滑动,必须使板车与木箱具有相同的加速度,所以列式:22221mgmmfmmFamsx可得:gmmF)(212-6.如图所示一倾角为的斜面放在水平面上,斜面上放一木块,两者间摩擦系数为)(tg。为使木块相对斜面静止,求斜面加速度a的范围。解:在斜面具有不同的加速度的时候,木块将分别具有向上和向下滑动的趋势,这就是加速度的两个范围,由题意,可得:(1)当木块具有向下滑动的趋势时(见图a),(2)列式为:mgNNcossinmaNNcossin可计算得到:此时的tan1tan1a题2-5题2-6(3)当木快具有向上滑动的趋势时,(4)列式为:cossinNmgNmaNNcossin可计算得到:此时的tan1tan2a所以tan1tantan1tana2-7.圆柱形容器内装有一定量的液体,若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动,试问稳定旋转时液面的形状如何?解:受力分析如图ymsinN2ωΔα(1)mgcosNΔα(2)两式相比dydzgytan2ωαdygydz2ωCygωz222当0y时0zz所以0zC0222zygωz稳定旋转时液面是一个抛物面2-8.质量为2m的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动,劈形物质量为1m,放置在光滑的水平面上,斜面倾角为,求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解:隔离物块和斜面体,分析力,列出方程,发现方程完备性不够,即未知数比方程数多,关键在于,m1与m2的运动有联系的,m1沿地面运动,m2沿斜面运动,这就是约束条件。取地面作为参考系,则m2的运动为:题2-7题2-8zrOxamN2sin(1)yamgmN22cos(2)m1的运动方程为:11sinmamN(3)下面列出约束条件的方程:取m1作为参考系,设m2在其中的相对加速度为a,在x,y方向的分量分别为xa与ya,那么:xyaatan利用相对运动的公式,aaamm12所以:1mxxaaayyaa于是:1tanmxyxyaaaaa即:sincossin1myxaaa(4)由(1)(2)(3)(4)联立,计算可得:gmmmam2212sincossin1;gmmmam22112sincossin相互作用力N=gmmmm22121sincos2-9.一小环套在光滑细杆上,细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动,角速度为,求:小环平衡时距杆端点O的距离r.解:根据题意,当小环能平衡时,其运动为绕Z轴的圆周运动,所以可列式:mgNsinsincos2rmN所以,可得:sintan2gr题2-92-10.在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒,半径为R,一小球紧靠圆筒内壁运动,摩擦系数为,在0t时,球的速率为0v,求任一时刻球的速率和运动路程。解:在法向上有RvmN2而Nμf在切向上有dtdvmf由上面三个式子可得Rvμdtdv2dtRμdvvtvv0201tμvRRvv00)1ln(00000RtμvμRtμvRdtRvvdtStt第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-1.一物体所受的力为jiF22t,求自0t至1t时间内力的冲量。解:1010222djijiFIdttt3-2.一质量为m=1kg的物体作斜抛运动,初速度s/m20v0,仰角060。如果忽略空气阻力,求物体从抛出点到最高点